标号组合类

与无标号组合类公理库组合类Combinatorial class · Unlabeled combinatorial class按非负整数大小分层且每层有限、从而能由生成函数记录对象数量的组合对象族。相比，在标号计数中原子还携带姓名。把 $n$ 个姓名拆给两个组件有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 种方式，因此普通卷积不再合适。EGF 用 $n!$ 归一化，把“选择标签子集”吸收进乘法，使结构分解仍能写成简洁函数等式。

标签不是对象外观上的装饰。对一棵标号树交换两个顶点标签，通常得到另一棵标号树；但结构必须能沿任意双射重命名，计数不能依赖标签恰好叫作 $1$ 还是 $37$。这种“身份重要、名字拼写不重要”的原则，正是标号组合学的核心。

线性次序在 $[n]$ 上有 $n!$ 种，因此其 EGF 为

与之相对，纯标签集合在每个 $[n]$ 上只有一种结构，EGF 为 $e^z$。两者在无标号意义下每个大小都只有一种同构类型，却有完全不同的标号计数；这具体说明“标号数除以 $n!$”不能普遍恢复无标号数。

更一般地，若无标号结构存在非平凡自同构，某个同构类型在 $[n]$ 上拥有的不同标号数是 $n!/|\mathrm{Aut}(\alpha )|$，不同类型的自同构群还可能大小不同。因此不能把总标号数统一除以 $n!$。例如无标号图与标号图之间的关系必须用轨道计数或物种的循环指标处理。

标号乘积还要求组件标签互不相交并合起来恰为总标签集。若允许两个组件共享同一标签，或标签未全部使用，乘积公式会改变。零大小组件在无限 SEQ、SET 或 CYC 复合中也需单独排除，否则标准形式级数公式未必对应局部有限的结构类。

标号类的不交并、标号乘积、序列、集合和循环分别对应 EGF 的加法、乘法、几何级数、指数与对数。典型恒等式包括：标号排列是“循环的集合”，集合划分是“非空集合的集合”，根标号树满足 $T=\mathcal{Z}\star \mathrm{SET}(T)$。

组合物种公理库组合物种Combinatorial species · Species of structures从有限集合及双射到有限结构集合的函子，用自然重标统一描述标号结构与对称性。把标签集和重标映射提升为函子，使“同一构造在任意标签集上自然成立”成为可验证条件。组合指数公式公理库组合指数公式Exponential formula in combinatorics · Combinatorial exponential formula将标号对象唯一分解为无序连通组件，并把总体与组件的指数生成函数联系为 A(z)=exp(C(z))。则说明，当对象唯一分解为一组连通标号组件时，总类 EGF 是组件类 EGF 的指数。选择 EGF 不是因为对象数量增长快，而是因为标签分配的卷积结构。