形式陈述

命题公式 $\varphi$$\phi$ 若在每个真值赋值 $v$$v$ 下都满足 $v(\varphi)=\top$$v(\phi )=\mathrm{\top }$，则称永真式或重言式，记作 $\models\varphi$$\models \phi$。等价地，$\neg\varphi$$\mathrm{\neg }\phi$ 不可满足。若公式在某些赋值真、另一些赋值假，则称偶然式。永真性是语义性质；在指定证明系统中“$\vdash\varphi$$⊢\phi$”是句法可证性，二者只有借可靠性与完备性定理才可等同。

直觉

永真式的真不依赖变量代表什么事实，而只来自逻辑形式本身；任何替换具体命题后仍不会变假。

例子与边界

$p\lor\neg p$$p\vee \mathrm{\neg }p$、$(p\land(p\to q))\to q$$(p\wedge (p\to q))\to q$ 都是永真式；$p\to q$$p\to q$ 是偶然式。$p\lor q$$p\vee q$ 在某个赋值为真，因此可满足，但不是永真，说明可满足只需一个模型而永真要求全部模型。自然语言中“显然为真”的经验命题不是逻辑永真式，除非其真由形式结构保证。

推论与应用

永真式表达有效推理模式、布尔恒等式和组合电路规范。检查 $\varphi\leftrightarrow\psi$$\phi \leftrightarrow \psi$ 是否永真可判定两个公式逻辑等价。

参考资料

• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019，§1.2, truth tables and tautologies。
• Herbert B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, 2nd ed., Academic Press, 2001，§1.2, tautologies and tautological implication。