永真式

永真性问的是“能否改变各个命题变量的真假，使整个公式失败”。如果答案是否定的，成立原因来自联结词结构，无须查变量代表的实际事实。一条经验命题即使在考察过的情形中从未失败，作为独立命题变量仍可被赋值为假，因而不由此成为永真式。

永真式还允许一致代入：同一个变量的所有出现都换成同一公式，结果仍永真。这是因为任意赋值都会给各个代入公式确定的真值，而这些真值本身就是原式的一组赋值。若同一变量的不同出现被随意换成不同内容，这个论证便不成立。

有效推理模式的完整核验 ​

肯定前件对应公式 $\theta =(p\wedge (p\to q))\to q$。它的全部四种赋值如下；表中 T、F 分别表示真、假。

唯一可能使外层蕴含为假的情形，要求其前件真而 $q$ 假；但前件真已经要求 $p$ 与 $p\to q$ 同真，从而要求 $q$ 真，故不可能。这个短论证与四行真值表检查的是同一件事。

排中律 $p\vee \mathrm{\neg }p$ 也是永真式。$p\to q$ 则不是：取 $p=\mathrm{\top },q=\mathrm{\perp }$ 即得反例；$p\vee q$ 在二者均假时为假，在 $p$ 真时为真，所以它可满足而非永真。

恒等式、句法与逻辑种类 ​

分配律可表示为

当 $p$ 假时两侧都假；当 $p$ 真时两侧都化为 $q\vee r$，因此八种赋值全部通过。这允许在更大公式中用右侧替换左侧而保持真值。

“$⊢\phi$”断言存在所选演算中的证明，“$\models \phi$”断言没有语义反例。一个刻意删去规则的系统可能可靠却证明不了全部永真式；只有证明它可靠且完备后，才可把两种条件对应起来。此外，排中律在经典逻辑中有效，并不因此成为直觉主义逻辑的一般定理。

对有限前提 ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$，推理有效等价于

它把“所有前提真时结论必真”转成单个公式的永真性。检查 $\phi \leftrightarrow \psi$ 是否永真，则是在检查两式是否逻辑等价。

真值表理路真值表Truth table按命题变元的全部赋值逐行计算复合公式真值的有限表格模型。枚举公式所含 $n$ 个不同变量的 $2^n$ 种赋值，给出直接的判定方法。实践中也可把目标取否定交给可满足性求解器：若求解器找到赋值，它就是可复查的反例；若证实不可满足，原式才永真。组合电路等价与布尔化简正使用这项转换。

命题可靠性与完备性理路命题逻辑可靠性与完备性定理Soundness and completeness of propositional logic命题演算中的可证性与对所有赋值成立的语义蕴涵恰好一致。使形式证明成为另一种证书：不用总是展开整张指数大小的真值表，也能证明某公式在每种赋值下成立。