多项式平方自由分解

若 $f$ 含因子 $q^e$，则形式求导后至少还保留 $q^{e-1}$，所以 $gcd(f,f^{\prime })$ 收集了重复部分，而商 $f/gcd(f,f^{\prime })$ 每种不可约因子只留下一个副本。随后连续取 GCD，就像一层层剥开等高线：第 $i$ 轮恰好分离原来重数为 $i$ 的因子。

正特征改变了这幅图像，因为 $p=0$ 在域中，$(h^p{)}^{\prime }=p{h}^{p-1}{h}^{\prime }=0$。导数对 Frobenius 像完全失明，不能从 $gcd(f,f^{\prime })=f$ 得出“算法失败后把整个 $f$ 当一个重数块”。正确动作是先识别纯 $p$ 次幂、在系数上取 Frobenius 逆并降低次数，然后递归恢复被 $p$ 放大的重数。

在 $\mathbb{Q}[x]$ 中令

求导并提取公因子得到

于是 $w=(x-1)(x+2)$。第一轮 $y=gcd(w,g)=w$，没有重数 $1$ 的因子；更新后 $g=x+2$。第二轮得到 $y=x+2$、$f_2=x-1$；第三轮得到 $f_3=x+2$。复乘 $f_2^2{f}_3^3$ 恢复原式，重数与因子都可直接核验。

在 ${\mathbb{F}}_2[x]$ 中，

的形式导数为零。若只运行特征零循环，会停在 $gcd(f,0)=f$ 而没有进展；取平方根 $h=x^2+x+1$ 后可知唯一平方自由块的重数为 $2$。这不是数值导数精度问题，而是 Frobenius 的结构性边界。

完美性也不能藏掉。在不完美域 ${\mathbb{F}}_p(t)$ 上，$x^p-t$ 的导数为零，却没有系数仍在该域内的 $p$ 次根；“无平方因子”和“在代数闭包中无重根”的口径在此会分离。页面算法选择后者并以完美域为前提。常数、多项式零输入与非首一输入还需分别处理：零多项式没有唯一的有限重数分解，非零常数只贡献单位 $c$。

平方自由分解是完整因式分解的预处理。Berlekamp 算法公理库Berlekamp 多项式因式分解算法Berlekamp factorization algorithm · Berlekamp polynomial factorization计算有限域商代数的 Frobenius 不动子空间，并以 GCD 从中确定性分离不可约因子。和Cantor–Zassenhaus 算法公理库Cantor–Zassenhaus 因式分解算法Cantor–Zassenhaus algorithm · Cantor-Zassenhaus factorization先按不可约因子次数分组，再以随机幂、迹映射和 GCD 做 Las Vegas 等次数分裂。通常都假设输入已经首一且平方自由；先去重后，随机分裂或 Frobenius 线性代数不用反复发现同一个不可约因子，也能用次数之和准确计量工作。

它还服务部分分式分解、符号积分、重根隔离与代数曲线奇异性检测。平方自由部分 $f/gcd(f,f^{\prime })$ 只保留每个根一次，可避免根隔离算法在同一点重复计数；结式 $\mathrm{Res}(f,f^{\prime })$ 是否为零则给出重根的快速判据。不过只知道判据为零不等于已经恢复各重数，完整输出仍需上述 GCD 链与正特征递归。