振幅放大

经典重试把成功概率从 $a$ 提升到常数需要约 $1/a$ 次独立运行；振幅放大不测量每次尝试，而让失败与成功分量保持相干，在二维平面中每轮推进约 $2\sqrt{a}$ 的角度，故只需约 $1/\sqrt{a}$ 轮。

核心资源不只是“能运行 $A$”，还包括能逆向运行 $A^{†}$、能相干识别 good 子空间并反射、以及能重新反射 $|0⟩$。缺少任何一项，都不能直接写出 $Q$，平方根提升也不是黑盒重试自动附带的性质。

设原过程成功率 $a=1/16$，于是 $\sin \theta =1/4$。做两轮后 good 振幅为

成功率从 $1/16$ 提升到

若 $A$ 用一次查询且 good 反射不读输入，这条轨迹总计 $(2\cdot 2+1)\cdot 1=5$ 次查询；把两轮只记成两次会漏掉 $A^{†}$ 与重新制备。

当 $a$ 未知时，固定 $r$ 可能越过成功方向。例如 $a=1/4$ 时 $\theta =\pi /6$，一轮后的成功率为 $1$，两轮却降回 $1/4$；迭代次数增加不意味着成功率单调增加。Boyer–Brassard–Høyer–Tapp 的策略逐渐扩大上界并在区间中随机选迭代次数，在 $a>0$ 时取得期望 $O(1/\sqrt{a})$ 次调用；它不是一个对所有 $a$ 同时最优的固定角度。

若 $a=0$，初态在 good 子空间没有分量，上述特定迭代 $Q$ 不会产生该分量。这并非说任何 unitary 都做不到：另一个知道成功态的制备过程当然可以改变它。限制在于只复用给定的 $A$ 与两次反射。要保证无解时终止，仍需另有可验证停止界；期望调用界也不能直接充当有界误差模型的每分支硬上限。

噪声或不可逆子程序也是失效边界。把含测量、丢弃或随机环境的过程直接称为 $A$，一般没有可调用的 $A^{†}$；必须先给出 coherent dilation，并把清理 workspace 的代价计入。

振幅放大把“能以小概率产生见证”的 coherent 算法转为平方根级查询上界，也为量子计数公理库量子计数算法Quantum counting algorithm · Quantum approximate counting对 Grover iterate 做相位估计，将特征相位转换为标记比例并显式控制计数误差。提供 Grover iterate 的特征相位。后者不把振幅推到一，而是估计旋转角以恢复原成功概率。

已知与未知 $a$ 的口径决定算法类型：已知值可选确定迭代数和精确调相；未知值需随机 schedule、phase estimation 或 fixed-point 版本，并支付不同常数与误差依赖。把这些版本混成同一个查询公式会隐藏真实前提。