共识数与 Wait-free 层级

共识要求多个进程从不同提议中不可撤销地选出同一个值，因此能测量原语“打破对称”的能力。普通读写让每个进程留下信息，却没有一个原子时刻能让竞争者共同认定谁先；CAS 则把“若仍无人决定，就由我写入”压成一次不可分割的条件更新，首个成功者自然成为共同选择。

层级的价值在于把无数实现问题缩成一次比较。若目标类型能解决三进程共识，而手头原语最多只能解决两进程共识，就无需继续寻找 wait-free 实现；不可能性已经来自组合论证。这个结论并不禁止锁实现或较弱进展实现，只精确排除指定模型中的 wait-free 路线。

用 CAS 为任意有限数量进程解决一次共识：共享原子槽 decision 初值为 $\mathrm{\perp }$，其中 $\mathrm{\perp }$ 是提议值域之外保留的空标记；进程 $p_i$ 执行 CAS(decision, ⊥, v_i)，随后读取并决定槽中的值。只有一个 CAS 能把 $\mathrm{\perp }$ 替换为提议值，故所有进程读到同一决定；决定值确由某进程提出；每个进程只做常数次原子步骤，其他进程崩溃也不妨碍完成。在标准无限次可用、线性一致 CAS 语义下，这一构造对任意有限 $n$ 成立。

固定二进程模型与价态 ​

下面完整证明读写寄存器的二进程下界。[1, §3.1] 进程 $p,q$ 是确定性的，输入各为一个bit，只能用任意多个多读多写原子寄存器通信。寄存器的初始内容固定且与输入无关；每个进程最初只知道自己的输入、身份和算法常量。一次步骤是读一个寄存器、普通写一个寄存器或本地状态转移。普通写不返回旧值；若返回旧值，它已经是swap，不在本证明的原语集合内。

本地步骤包括决定事件。等待也必须表示为可继续取步的本地动作，不能把阻塞后无动作当作完成。我们采用的wait-free条件包含：任意尚未决定的进程，从任意可达配置独自运行都能有限决定；在任意无限执行中，取得无穷多自身步骤的进程必已在有限前缀决定。无需假设两个进程都公平地继续运行。[1, §2.3]

配置理路分布式配置Distributed configuration · Global configuration全部进程局部状态与通信介质状态组成的系统全局状态。 $C=({\ell }_p,{\ell }_q,M)$ 记录全部本地状态和共享寄存器；本地状态包括程序位置、读到的值和已经作出的决定。令

允许空延伸，因此已经作出的决定也算在内。wait-free保证 $\mathcal{V}(C)$ 非空；若已有决定 $v$，一致性迫使它等于 $\{v\}$。单价指 $\{0\}$ 或 $\{1\}$，双价指 $\{0,1\}$。若 $C\sigma$ 表示执行有限步骤串 $\sigma$ 后的配置，则

所以单价只能保持，不能翻转。记 $C{\sim }_{i}D$ 表示共享内存与进程 $i$ 的本地状态相同；另一个进程的状态可以不同。确定性给出不可区分性引理：让 $i$ 分别从 $C,D$ 独自运行，它每次读到相同值，作相同写入，因而在相同步数决定相同值。这可对自身步骤直接归纳，不要求 $C=D$。

从输入链找到初始双价 ​

设 $I_{ab}$ 是输入为 $(a,b)$ 的初始配置。有效性使 $I_{00}$ 为0-单价，$I_{11}$ 为1-单价。考察

若三个配置全单价，就有相邻两个价态不同。第一对仅 $p$ 的输入不同，第二对仅 $q$ 的输入不同。让发生改变的进程永远不动，另一个独自运行；它在两次执行中的共享内存与本地状态相同，wait-free又要求它有限决定，故决定相同，与两边价态不同矛盾。因此至少一个初始配置双价。这一步使用私有输入与输入无关的初始共享内存，不能预先把全部输入写进公共状态。

为什么一定有临界配置 ​

从初始双价配置出发，假如每个可达双价配置至少有一个立即后继仍双价，就始终选择这样的下一步，得到一条无限双价执行。只有两个进程，至少一个取得无穷多步；双价意味着始终没有人决定，违反wait-free。

所以存在可达双价配置 $C$，其中两个进程各自下一步 $e,f$ 都进入单价。所有导致决定的延伸都必须先走其中一步，故

两边不能是同一个单值集合。交换 $0,1$ 名称后，可设 $e$ 属于 $p$、$f$ 属于 $q$，并且 $Ce$ 为0-单价、$Cf$ 为1-单价。因此 $Cef$ 仍0-单价，$Cfe$ 仍1-单价。以下穷尽两步可能的读写类型，证明这样的 $C$ 不存在。

情形一：步骤可交换 ​

若某一步纯本地，或两步访问不同寄存器，或两步都读同一个寄存器，两种次序产生完全相同的配置：

原因是两步的读返回值、写入内容及两个本地后继都相同。一个配置却被要求同时0-单价和1-单价，矛盾。本地决定也在此情形：若执行它已造成两个不同决定，则更直接违反一致性。

情形二：同一个寄存器，一读一写 ​

设 $e$ 是 $p$ 读 $r$，$f$ 是 $q$ 普通写 $r$。比较的不是两种执行次序，而是

$p$ 的读没有改变共享内存，$q$ 在两条路径中做的是同一次写，写后自己的状态和全部共享内容相同。让 $q$ 从1-单价的 $Cf$ 独自运行，它必决定1；从0-单价的 $Cef$ 也会作同一决定，矛盾。若 $q$ 已决定，所需独自延伸就是空串。

对称地，若 $e$ 为 $p$ 写、$f$ 为 $q$ 读，则 $Cfe{\sim }_{p}Ce$。让 $p$ 从 $Ce$ 独自决定0，就会从1-单价的 $Cfe$ 也决定0，同样矛盾。

情形三：同一个寄存器，两次普通写 ​

设 $e$ 把 $r$ 写为 $a$，$f$ 把它写为 $b$。在 $Cef$ 中第二次写覆盖了第一次；与直接执行 $f$ 相比，$q$ 的写没有读取或返回被覆盖的旧值，故

这里不能写成 $Cef=Cf$：$p$ 的程序位置已不同。只需 $q$ 无法区分，就能复用上面的独自运行矛盾。即使 $a=b$，同样成立。

三类情形已穷尽所有原子步骤，反设协议不存在。一个进程直接决定自己的输入即可解共识，所以读写寄存器的共识数恰为1。增加寄存器数量、容量或本地计算不会破坏上述论证；增加一次能读取旧值的原子更新则会改变关键情形。

返回值和进展条件改变了什么 ​

有限位宽、可能回绕的机器 CAS 是否保持抽象类型的全部能力，要看对象规格与可用内存模型。硬件吞吐、缓存争用和 ABA 风险影响实现性能与安全证明，却不改变理想原子 CAS 类型的经典共识数；若接口改成可能伪失败、只比较受限状态或允许非线性行为，就必须重新分类。

共识层级解释了读改写原语理路读改写原语Read-modify-write operation · RMW将读取旧状态、依据旧状态决定更新及返回结果合为一个原子状态转移的同步原语；其内存序和进度保证需另行规定。之间并非只有性能差异。它为无锁数据结构给出选择下界，也说明为什么从弱原语实现强对象时，算法常不得不降低进展保证、限制参与者数量或引入更强硬件操作。

分类结论不能反向代替具体算法证明。一个原语共识数足够高，只表示存在通用 wait-free 构造；实际队列或栈仍需证明线性一致性、步骤界和内存回收。相反，某对象无法用低层原语 wait-free 实现，也不排除使用互斥锁理路互斥锁Mutex · Mutex lock · 互斥量以获取、释放与所有权封装临界区互斥的同步对象。、随机化或特定调度假设得到可用实现。

上述证明和FLP理路FLP 不可能性定理FLP impossibility · Fischer–Lynch–Paterson theorem完全异步系统中即使只允许一个进程崩溃，也不存在保证所有可容许执行终止的确定性共识协议。都用双价与不可区分性，但模型不同：这里是共享原子寄存器与个体wait-free，FLP处理可靠消息传递与公平无限执行。前者不是把后者换几个名词所得的直接推论。[1, §3.7] 随机共识理路随机共识与概率一终止Randomized consensus · Ben-Or randomized consensus · 随机化共识固定不看随机位的异步调度器，完整证明两阶段随机二值共识的安全性、概率一终止和几何轮数尾界。再把终止改为对规定调度器以概率1成立，同时保留逐执行的安全性；它也不反驳此处的确定性下界。