交付一份保留查询身份的批量统计记录
批量查询的重排与重放路线在这里把四种方法接到真实输入。下载标准库核验器和完整运行结果，运行python algorithms-batched-range-check.py。程序无网络依赖，在脚本同目录写出JSON；python -O仍执行全部显式检查。
交付结果须包含每条查询的原编号、实际执行次序、维护的不变量和使用的输入条件。朴素扫描可以核答案，但不能替代对“为什么允许重排”的解释。以下数组均从下标0开始，区间[l,r)不包含r。
一、先在线回答，再保存同一份事件
初态A=[3,1,3,2,1,4,2,3]，取B=3，初始排序块为[1,3,3]、[1,2,4]、[2,3]。按下列顺序到达请求，每个count都要在下一条请求到来前回答：
| 命令时刻 | 请求 | 立即返回 |
|---|---|---|
| 1 | count(1,7,2) | 4 |
| 2 | set(2,1) | 无查询输出 |
| 3 | count(0,4,1) | 2 |
| 4 | set(5,1) | 无查询输出 |
| 5 | count(2,8,2) | 5 |
| 6 | set(2,1) | 无查询输出 |
| 7 | count(4,4,99) | 0 |
第一条查询分成[1,3)、整块[3,6)、[6,7)，贡献1、2、1。第一次赋值后，第一排序块只删掉一个3并插入一个1，成为[1,1,3]；第二次赋值后，中块成为[1,1,2]。第六条给位置2重复赋相同值，不改变后续计数。
自己运行SortedBlocks并在每次赋值后调用audit()，确认排序块恰好是对应原位置的多重集合。该检查会重排并比较整份数组，是测试成本；在线核心的更新只移动所属块内的元素。
二、把点赋值转成可撤销的贡献
现在整份事件已经保存，可以用CDQ批处理同一问题。初态8个位置各产生一条(0,i+1,A[i],+1)。三条赋值各产生两条记录：旧值−1、新值+1。因此共有14条更新记录。
每个区间count(l,r,k)拆成两个阈值查询H(t,r,k)与H(t,l,k)，相减恢复结果，四条count共有8条前缀查询。第二维是i+1，所以不能把减项误写成l−1。即使空区间，两个前缀查询仍可正常生成并相消。
先手算时刻3、阈值1、前4个位置：初态位置1贡献1；时刻2把位置2的旧3删去、新1加入，新增贡献1，总计2。到时刻5、区间[2,8)、阈值2，共保留位置2、3、4、5、6五项。
调用assignment_counts(A, operations)后，JSON中assignment.answers应为[4,2,5,0]，并列出14条更新、8条前缀查询。核验器还记录本次分治实际22次树状数组加入、22次撤销；同一更新可能在不同层参与不同查询，不能把这个执行次数误当成输入更新数。
另检查带重复坐标的独立例子：更新(0,1,2,+3)、(0,1,2,−1)、(1,0,2,+5)、(0,2,1,+7)，两个阈值(0,1,2)、(1,2,2)答案2、14。根结点分别贡献2、9，右子树给第二个阈值补5。若删除负权、去重更新或把某个≤改成<，至少一个结果会变化。
三、冻结初态，用一个窗口回答七个请求
回到未经任何赋值的初态A。七个查询按输入编号依次为[2,7)、[0,4)、[4,8)、[1,6)、[3,3)、[0,8)、[3,5)。每份答案包含不同值数D与频次平方和F。
使用B=3的Mo次序为1、3、0、5、6、2；空查询4直接得到(0,0)。按原编号交付的结果为
[(4,7), (3,6), (4,4), (4,7), (0,0), (4,18), (2,2)]。
当前窗从[2,7)去[0,8)，先加入下标1、0，再加入7。全数组中3出现3次，1、2各2次，4出现1次，故F=18。下一窗[3,5)要删去左侧0、1、2和右侧7、6、5；每次删除前该位置都仍在窗口中。
本次移动统计为左加2、右加11、左删6、右删3，共22个单位置转移。JSON的trace保存每次查询前后的窗口及两项统计；答案数组仍按0至6排列。逐步检查频次非负和频次总和=R−L，不只看最后的F。
从空窗[0,0)直接转到[4,6)是另一个必要手算：先加入0到5，再删0到3。若先删除左边界，就在第一步删除未出现元素。对于长度5、F=7的查询0，同值无序位置对数为(F−5)/2=1，抽两个不同位置相等的概率1/10；空窗不能使用该概率公式。
四、为日期二分证明单调性
另取A₀=[0,0,0,0]。六天增量依次为(1,+2)、(3,+3)、(0,+1)、(2,+4)、(1,+0)、(3,+2)。查询依次为：
| 编号 | 固定区间 | 目标和 | 首次日期 |
|---|---|---|---|
| 0 | [0,2) | 3 | 3 |
| 1 | [2,4) | 5 | 4 |
| 2 | [0,4) | 0 | 0 |
| 3 | [1,3) | 7 | 不存在 |
| 4 | [0,1) | 2 | 不存在 |
| 5 | [2,2) | 1 | 不存在 |
每个位置只增加，所以任何固定区间的和不下降；每条“至少达到目标”谓词先假后真。这才允许二分，与CDQ中合法的负权抵消是不同条件。
首轮所有查询的边界为(-1,7)，中点都为3；一份日期3状态同时回答六项。第二轮查询0、2的中点为1，其余为5。从初态重放一遍，在日期1读[0,2,0,0]，在日期5读[1,2,4,3]，即可完成两桶；不为每个查询重新执行五条更新。
第三轮查询2检查日期0并返回0。完整最终lo=[2,3,−1,6,6,6]，hi=[3,4,0,7,7,7]；7只是真哨兵，映射成JSON的null。实际三轮共18次更新、18次谓词检查，初态重建累计12个数组单元。
五、改变结构条件，选择还能成立的接口
- 将事件的下一条真实查询改为依赖上条答案才能解码。排序块仍能逐条回答；Mo与CDQ不能预先排序未知坐标。仅有文件里的编码串不足以满足离线条件。
- 在静态Mo七查询之间加入
set(2,1)。不能继续用原静态窗口答案；要保留在线次序或另外设计带时间的状态。当前下载器的Mo接口没有修改参数。 - 用单个“最小值”替代Mo的频次数组。删除唯一最小值时信息不足；请给出[1,4,7]与[1,5,7]这个相同旧摘要、不同新答案的反例，再决定补何种结构及其成本。
- 单元素初态0，更新改成+5、−5、0、0，目标3。实际首次日期为1，但日期序列是假、真、假、假、假；首轮中点2判假已删掉正确日期。批量二分接口应拒绝负增量，不能继续声称首真证明成立。
- 把数组清空。分块只允许[0,0)查询，Mo给所有空窗(D,F)=(0,0)，CDQ零更新的前缀都为零，批量二分的空区间只在目标≤0时返回日期0。任何点更新都没有合法位置。
六、验收记录的成本栏
排序块的计数成本为O(B+(n/B)log(B+1))，赋值O(B)；只有常数大小摘要可直接合并时，才是常见的O(B+n/B)查询。Mo除指针项qB+n²/B外，还要计查询排序、值压缩和输出q个结果。
CDQ的O(N log²(N+1))中，N是变换后的更新与前缀查询记录数，不能只按原数组长度报数；同坐标记录不去重。核心线性空间要求不保存每层历史，关闭逐结点整树扫描audit。批量二分每轮都要重建n项初态并清桶，不能只数树状数组操作。
下载器默认核心关闭audit；main为了检验每个窗口与日期，显式打开较慢的朴素核对。这些测试遍历不属于正文核心渐近界。所有整数算法的单位成本界还要求数值、下标和累计和能放入机器字；Python不溢出不代表大整数位运算免费。
最终交付JSON、两条事件编码的手算、七个查询的原ID答案、批量二分三轮桶记录，以及五项结构迁移的解释。有限穷举核对的是实现；正文的不变量、唯一贡献归属与单调性分别承担一般正确性。