从圈基算法路线进入。终结任务不是报一个“15”，而是交出四条实际圈、二元独立证据、两份算法轨迹，以及哪些检查可以证明基、哪些步骤负责最优性。

输入与第一份合法但较贵的答案 ​

顶点0、1、2、3围成四边形，4在中心。外框边10=01、20=12、30=23、40=30，权均为1；辐条50=04、60=14、70=24、80=34，权依次2、1、1、2。等号右边是端点简写，边40的“30”表示顶点3和0，并非另一条边ID。

只读这份表，先算 $r=m-n+c=8-5+1=4$。按边ID扫描，保留不成圈的边，得到 $T=\{10,20,30,50\}$。对四条弦各加上树中唯一路径，交出以下基本圈：

四个圈各自在弦坐标上有独占的1，所以确实是基；总权20。不能把“基本圈基”自动理解成“最小圈基”。

第一条路线：候选8条，消元接受4条 ​

运行Horton算法理路Horton 最小权圈基算法Horton minimum cycle basis algorithm · Horton algorithm for minimum cycle basis · Horton 最小环基算法从一致最短路树构造多项式大小的圈候选，证明候选完备性，再用二元消元选出总权最小的圈基。时，边的第二权分量依次为1、2、4、8、16、32、64、128。这些数只用于平局；报出的目标仍是原权。

每个根建立完整最短路树，将两条根路径异或再加非树边，候选去重后如下。最后一列给出执行器保存的第一份“根、补边”生成见证；一个圈可能有多份生成方式。

前四条被接受，后四条被拒绝。以内部第j边对应整数第j位，前四个原向量为98、15、49、196，主元位为6、3、5、7。第五条83满足 $83=98\mathrm{xor}49$；请实际执行两次主元异或，确认剩余为0。不要把消元后的剩余掩码当作新的输出圈。

输出按原顶点写成 $1,2,4,1$；$0,1,2,3,0$；$0,1,4,0$；$2,3,4,2$。权为3、4、4、4，总和15。每条都闭合且内部不重复顶点；原边ID无歧义。

第二条路线：四次奇偶约束 ​

de Pina算法理路de Pina 支撑向量圈基算法de Pina minimum cycle basis algorithm · Support-vector minimum cycle basis · de Pina 最小圈基算法维护与已选圈正交的二元支撑，以双层最短路求最轻奇支撑圈，并通过基交换证明逐轮输出的圈基总权最小。初始化支撑{40}、{60}、{70}、{80}。四轮实际记录为：

请用模2内积逐项验证支撑更新，特别是圈98与{60,70}经过两条标记边，因此为偶。四圈还是同一组，顺序变为4、3、4、4；程序没有执行Horton候选排序。

每轮奇圈搜索对全部五个原顶点求双层最短路。仅列第一分量，五个目标距离分别为

第三轮全为4仍要保留确定的平局规则，不能由距离列表猜输出边。完整JSON同时保存获选根、状态路径及原边序列。第二轮选根1，状态编号约定为 $2v+b$，路径2、4、8、3对应 $(1,0),(2,0),(4,0),(1,1)$；原边20、70、60，最后的60翻层，投影圈权3。

三项迁移必须实际完成 ​

零权与分离分量 ​

改成五顶点图：7=01、19=12、31=20三边权全为0，90=34权2。$m=4,n=5,c=2,r=1$，两算法都应返回{7,19,31}这一条权0圈。树分量的90不应进入任何圈。

再试空图 $(n,m,c)=(0,0,0)$和三个孤点 $(3,0,3)$，二者r均为0且输出空基。它们的分量数不同，不能用固定的连通图公式m−n+1处理。

从奇闭走提取圈 ​

令7=01、19=12、31=20权均1，桥90=23权2。标记S={7}，给出闭走3、2、0、1、2、3与边序列90、31、7、19、90，总权7。栈提取应返回{7,19,31}，权3；并说明桥往返标记贡献为0，投影不是简单圈。

若把S改为{90}，公共oracle应返回NONE。解释这不与主算法每轮成功冲突：主算法的支撑来自非树边空间，并持续保持非零限制；任取一座桥当支撑没有那项保证。

输入身份与证明边界 ​

将边表重新排列但保留ID，结果不变；把ID换成另一组互异整数，最优原权不变，但平局时具体基可以改变。位掩码只对当前排序边表有效，不能跨边表直接重用。

执行器还实际拒绝14类输入，包括自环、平行端点、负权、浮点、重复ID、越界顶点、布尔冒充整数、越界支撑，以及偶闭走冒充奇闭走。任何拒绝都不能被改成空基，因为空基只对已通过输入检查且r=0的图正确。

可重跑交付与检查顺序 ​

下载标准库执行器和完整结果JSON。运行

python algorithms-minimum-cycle-basis-check.py
python -O algorithms-minimum-cycle-basis-check.py

两次输出应相同；所有检查用显式异常，不依赖assert。Graph.make验证并正规化输入；horton和de_pina处理已正规化的图；odd_cycle提供含NONE出口的支撑查询；extract_odd_cycle另验证闭走与边身份。其他消元、森林及显示函数是这些入口的内部工具。

建议按以下顺序核验自己的记录：先验证图与边ID，再验证每个输出是简单圈，随后核r与二元秩，再对照候选完备性或支撑/最短路证明。只检查四条圈独立能接受前面的权20基，故还没有证明最优。反过来，报总权15却不给出边身份，无法确认该值由真实圈实现。

主脚本另外枚举本图13条简单圈核算最优值，是小例的交叉检查；正文的完备性和交换证明才覆盖任意合法输入。两页成本分析对大数操作、权值位长、日志与输出分别计费，这个几十行的运行记录不能代表大图性能评测。