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边界、点源与热流：单元验收题及解答 ​

任务：先构造，再用另一种证据核验 ​

本单元有两条相接的主线。平衡问题先读调和平均、最大值、Hopf 与 Harnack，再用基本解、Green 核和镜像构造具体边值解；演化问题先读热核，再读 Duhamel 与抛物比较。一般域存在性是进一步阅读的分支，本任务只使用可明确构造的球、半空间与半直线。

你需要交付以下三份解，并逐项注明方程、边界、初值或远场类别。不能因为一个积分“像解公式”，就省掉这些检查。

1. 三维单位球内有均匀源 $-\mathrm{\Delta }u=6$，球面温度为零。求解并验证中心温度、非负性及外法向导数；再用 Green 核独立重算中心温度。
2. 三维上半空间没有体源，平面边界上半径为 $a$ 的圆盘温度为一，圆盘外为零。用镜像导出的边界核，计算正上方高度 $h$ 的温度，并说明边界跳点处允许什么结论。
3. 半直线 $x>0$ 上的热方程有吸收边界 $u(0,t)=0$，初值为 $g(x)=e^{-x}-e^{-2x}$。先不加热源，构造解、核验初值并求总热量的积分表达。随后加入常数热源 $q\ge 0$，构造受迫解，并给一个在所有位置有效的上界。

解答一：球内源与零边界 ​

径向函数 $u=1-r^2$ 满足三维中 $\mathrm{\Delta }{r}^2=6$，故

$$-\mathrm{\Delta }u=6,u{|}_{r=1}=0,u(0)=1.$$

它在球内严格为正，外法向导数是径向导数 $u_r(1)=-2$。对 $-u$ 使用 Hopf 引理，边界值零是严格大于内部的最大值，因此外法向导数应为正；实际 ${\partial }_{\nu }(-u)=2$，符号一致。

唯一性由两个解之差的调和最大值原理给出。因此显式核验方程和边界后，已经识别出这个边值问题的唯一经典解。

三维球中源点在中心的 Green 核为

$$G(0,y)=\frac{1}{4\pi }(\frac{1}{|y|}-1).$$

用源项叠加，

$$u(0)=6{\int }_{B(0,1)}G(0,y)dy=6{\int }_0^1(r-r^2)dr=1.$$

若漏掉核中的 $-1/(4\pi )$，就会得到中心值三，且球面边界不再为零。这个错误来自漏掉边界校正，而非球坐标积分的小误差。

Harnack 不等式不能直接套给这个 $u$，因为它不是调和函数。若要比较一个正调和温度，可另取 $v=2+x_1$；它在单位球内为正，$v(0)=2$，在半径 $1/4$ 的小球内位于 $[7/4,9/4]$。比值 $9/7$ 确实受局部 Harnack 常数控制。源项符号可以给 $u$ 正性，却不把它变成无源函数。

解答二：平面上的热圆盘 ​

由镜像核的外法向导数，边界 Poisson 权重为

$$P_h(z^{\prime })=\frac{h}{2\pi (|z^{\prime }{|}^2+h^2{)}^{3/2}}.$$

在圆盘轴线上，边界数据只在 $|z^{\prime }|\le a$ 非零，因此

$$\begin{array}{rl}u(0,h)& ={\int }_{|z^{\prime }|\le a}{P}_h(z^{\prime })d{z}^{\prime }\\ & =h{\int }_0^a\frac{r}{(r^2+h^2{)}^{3/2}}dr\\ & =1-\frac{h}{\sqrt{h^2+a^2}}.\end{array}$$

它在 $h\downarrow 0$ 时趋向一，在 $h\to \mathrm{\infty }$ 时趋向零，而且

$$\frac{d}{dh}u(0,h)=-\frac{a^2}{(h^2+a^2{)}^{3/2}}<0.$$

这里圆盘的半径控制了可见温度随高度下降的尺度。远处展开给 $u(0,h)\sim a^2/(2h^2)$，不是点源势的 $1/h$ 衰减；本问题驱动来自边界面积，而非一个体积点源。

对任意内部点，完整边界积分非负且不超过一，因为 Poisson 核是正的单位质量核。它在每个正高度可逐项求导验证调和性，并在边界数据连续的点恢复原值。圆周 $|z^{\prime }|=a$ 是跳跃集合，不能借连续数据的边界定理要求恢复那里任意指定的点值。

本解属于有界调和类。无界半空间若不指定增长或有界条件，可以加上某些边界为零的调和函数，例如 $ch$，从而破坏唯一性。把这个增长分支排除在问题外，是选择解类别的实际作用。

解答三：吸收边界下的热量 ​

构造半直线的核 ​

记一维自由热核为 ${\mathrm{\Gamma }}_t$。反射后相减得到

$$K_t(x,y)={\mathrm{\Gamma }}_t(x-y)-{\mathrm{\Gamma }}_t(x+y),x,y>0.$$

它对 $x$ 满足热方程，在 $x=0$ 时恰好为零。由于 $|x-y|<x+y$，Gaussian 的径向递减性给 $K_t(x,y)>0$。因此

$$u_0(x,t)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{K}_t(x,y)g(y)dy$$

在正时间光滑，保持非负，且满足吸收边界。把 $g$ 奇延拓到实线，这个积分正好是自由热核与奇延拓的卷积。

$g(0)=0$，奇延拓在原点连续；此外它有界且一致连续。因此近似恒等核给初值的一致恢复，连初始面与边界相交的角点也没有不相容的温度跳跃。

把积分算成 Gaussian 分布函数 ​

设 $\sigma =\sqrt{2t}$，并记标准正态 CDF 为 $\mathrm{\Phi }$。配方可得，对 $b>0$，

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Gamma }}_t(x-y)e^{-by}dy=e^{b^{2}t-bx}\mathrm{\Phi }\left(\frac{x-2bt}{\sigma }\right),$$$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Gamma }}_t(x+y)e^{-by}dy=e^{b^{2}t+bx}\mathrm{\Phi }\left(\frac{-x-2bt}{\sigma }\right).$$

记两者之差为 $U_b(x,t)$，则完整解为

$$u_0(x,t)=U_1(x,t)-U_2(x,t).$$

当 $x=0$，每个 $U_b$ 的两项完全相等，边界值确实为零。这个闭式在大 $t$ 数值计算时可能含“大指数乘小尾概率”的抵消；解析正确性与直接浮点求值稳定性仍需区分，本任务不把它当成新的数值算法。

总质量为何不守恒 ​

初始总热量为 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(y)dy=1/2$。对非负积分换序，

$$\begin{array}{rl}M(t)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}_0(x,t)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(y)[2\mathrm{\Phi }\left(\frac{y}{\sqrt{2t}}\right)-1]dy.\end{array}$$

方括号位于 $(0,1)$，所以对每个 $t>0$，$0<M(t)<1/2$。随 $t\to \mathrm{\infty }$，它逐点趋零并由一控制；控制收敛给 $M(t)\to 0$。消失的热量经吸收边界流出，没有违反自由空间热核的质量守恒，因为这里已换成另一个边值演化。

加上持续热源 ​

若 $u_t-u_{xx}=q$，Duhamel 原理给

$$u(x,t)=u_0(x,t)+q{\int }_0^t{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{K}_{t-s}(x,y)dyds.$$

空间积分等于 $2\mathrm{\Phi }(x/\sqrt{2(t-s)})-1$，令 $\tau =t-s$ 得

$$u(x,t)=u_0(x,t)+q{\int }_0^t[2\mathrm{\Phi }\left(\frac{x}{\sqrt{2\tau }}\right)-1]d\tau .$$

边界 $x=0$ 时新增项仍为零；对每个固定 $x>0$，$\tau \downarrow 0$ 时方括号趋向一，这个上限附近的贡献正是求导时出现的源项。积分项连续趋零于初始时刻。

初值最大值是 $g(\log 2)=1/4$。核正性和质量不超过一给 $u_0\le 1/4$，新增方括号也不超过一，所以

$$0\le u(x,t)\le \frac{1}{4}+qt.$$

这与抛物比较原理一致。常数源在无限半直线上注入无限总量，所以前面的有限总热量公式只用于 $q=0$ 部分，不能继续声称受迫解的全空间质量有限。

验收标准 ​

• 球中解、Green 重算和 Hopf 外法向符号互相吻合
• 区分体源势与边界数据延拓；半空间核的质量与外法向负号正确
• Harnack 只用于非负调和函数，不能把有正体源的解直接代入
• 半直线核的源、镜像、零边界和初值均已核验，且说明角点相容性
• 明确吸收边界导致质量损失，而自由空间卷积保持质量
• Duhamel 中使用剩余时间 $t-s$，并给出正性及 $1/4+qt$ 的全位置界
• 无界区域的增长类、跳跃边界数据的适用点、受迫总质量的限制均明确