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完整谱与有限圆周矩：证书终点 ​

同一列复数可以扮演两种角色：一份已经完整给定的Laurent多项式，或一份尚未补齐的Fourier矩前缀。这一终点要求先辨认输入合同，再交非负因子、拒绝方向、唯一谱线或达到的原子质量。主线是标量Fejér–Riesz分解理路Fejér–Riesz 的标量谱因子分解Fejér–Riesz factorization · Scalar polynomial spectral factorization · 非负三角多项式的模平方分解将整个单位圆上非负的标量Laurent多项式分解为普通多项式的模平方，证明根选择、边界偶重与规范唯一性，并区分有限矩阵检查和真正的全圆周正性。与有限圆周矩定理理路有限圆周矩与Toeplitz原子证书Truncated trigonometric moment problem · Positive Toeplitz Vandermonde decomposition · 有限圆周矩问题以有限Hermitian Toeplitz半正定判定正圆周测度存在，证明奇异数据的唯一原子表示、正定数据的多解及指定原子最大质量的准确达到。。

全程取 $dm=dt/(2\pi )$、$z=e^{it}$，矩约定为 $c_k=\int z^{-k}d\mu$。因此 $T_{ij}=c_{i-j}$，多项式 $p(z)=\sum a_j{z}^j$ 满足 $a^{\ast }Ta=\int |p{|}^{2}d\mu$。公开精确复数检查器和固定结果只使用Python标准库；运行时用自己的 --output 路径。图示的浮点采样不承担认证，全部发布端点由有理复数运算核验。

任务一：同一功率，不同根选择 ​

完整给定

$$Q(e^{it})=\frac{7}{2}-\frac{9}{2}\cos t+\cos 2t.$$

找规范因子，构造一份根不同但功率相同的因子，并判断是否有绝对可和的单边逆。再对严格正的候选

$$p_s(z)=(1-z/2)(1+iz/3)$$

交全部非负频率系数、三个准确读数、统一正下界和逆系数总量上界。

解答 ​

系数表为 $q_0=7/2,q_1=-9/4,q_2=1/2$。取

$$p(z)=1-\frac{3}{2}z+\frac{1}{2}{z}^2=(1-z)(1-z/2).$$

逐项卷积给

$$|a_0{|}^2+|a_1{|}^2+|a_2{|}^2=\frac{7}{2},a_1\overline{a_0}+a_2\overline{a_1}=-\frac{9}{4},a_2\overline{a_0}=\frac{1}{2}.$$

因此整个圆周上 $Q=|p{|}^2$。根 $1,2$ 均不在开圆盘，常数项为正，所以它是唯一规范因子。清负幂后的四次多项式为

$$z^{2}Q(z)=\frac{1}{2}(z-1{)}^2(z-2)(z-1/2),$$

圆上二重根被因子取一重，圆内外互反根对只取圆外成员。

反射根 $2$ 得

$$\tilde{p}(z)=(1-z)(z-1/2)=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}z-z^2.$$

它的三项卷积仍是同一 $q$，但根 $1/2$ 在圆内。两者都没有通常的绝对可和单边逆：前者已被边界根 $1$ 阻止；后者还存在开圆盘极点。不能因为选择了规范因子就把非负升级成严格正。

严格例的系数为

$$a_0=1,a_1=-\frac{1}{2}+\frac{i}{3},a_2=-\frac{i}{6},$$

故

$$q_0=\frac{25}{18},q_1=-\frac{5}{9}+\frac{5i}{12},q_2=-\frac{i}{6}.$$

可核 $Q_s(1)=5/18,Q_s(-1)=5/2,Q_s(i)=5/9$；其根为 $2,3i$。对全部圆周点，

$$Q_s(z)\ge (1-1/2{)}^2(1-1/3{)}^2=\frac{1}{9}.$$

逆因子各自的几何级数绝对和分别为 $2$ 与 $3/2$，所以乘积逆的系数绝对和至多 $2\cdot (3/2)=3$。这个界直接来自卷积三角不等式，不要求实际每项相位都对齐。

验收时必须交系数恒等式和全部根的位置。只展示几个正读数，或只核总能量25/18，都不够证明整个圆周非负。

任务二：有限前缀通过，补零扩张失败 ​

输入只有 $c_0=1,c_1=3/4$。判断它能否来自正圆周测度，给两份不同的完整代表；然后检查“把以后所有矩都设为零”这一补全方式。

解答 ​

$$T_1=\left(\begin{array}{cc}1& 3/4\\ 3/4& 1\end{array}\right)$$

的特征值为 $7/4,1/4$，所以数据合法且不唯一。一份原子代表是

$${\mu }_A=\frac{7}{8}{\delta }_1+\frac{1}{8}{\delta }_{-1}.$$

它的 $c_1=3/4,c_2=1$。另一份代表是

$$d{\mu }_P=P_{3/4}(t)dm=\frac{7/16}{1-(3/2)\cos t+9/16}dm.$$

由Poisson核的准确Fourier展开，它给 $c_k=(3/4{)}^{|k|}$，所以同样匹配已知前缀，但 $c_2=9/16$。

现在按错误方案指定 $c_2=0$。对应矩阵和向量是

$$T_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 3/4& 0\\ 3/4& 1& 3/4\\ 0& 3/4& 1\end{array}\right),u=(1,-3/2,1{)}^{\mathsf{T}}.$$

直接计算 $u^{\ast }{T}_{2}u=-1/4$，所以连这一阶补全都不合法。若更把所有后续系数都补零，其完整Laurent多项式是 $1+(3/2)\cos t$，在 $t=\pi$ 为 $-1/2$，也不可能是非负谱。

否定零补全与否定原始前缀是两份不同结论。读者应能给出本段的合法测度与负方向，而不只汇报某个矩阵软件的状态。

任务三：复矩的唯一节点与越界拒绝 ​

给定

$$c_0=1,b=c_1=\frac{2-i}{3},c_2=\frac{1}{3}.$$

求所有正测度代表、下一矩 $c_3$，并判断若第三项改为 $1/3+i\epsilon$（$\epsilon >0$）会怎样。必须使用固定的负指数矩约定。

解答 ​

矩阵为

$$T_2=\left(\begin{array}{ccc}1& (2+i)/3& 1/3\\ (2-i)/3& 1& (2+i)/3\\ 1/3& (2-i)/3& 1\end{array}\right).$$

取

$$a=(i,-1-i,1{)}^{\mathsf{T}},p(z)=i-(1+i)z+z^2=(z-1)(z-i).$$

逐行核 $T_{2}a=0$。前二阶主块行列式为 $1-|b{|}^2=4/9>0$，而候选 $(2/3){\delta }_1+(1/3){\delta }_i$ 逐矩匹配，因此整矩阵PSD且秩恰为二。任一代表必须集中在 $p$ 的单位圆零点上；质量方程

$$w_1+w_i=1,w_1-i{w}_i=\frac{2-i}{3}$$

给出 $w_1=2/3,w_i=1/3$。这不是仅在“两点测度类”中拟合：核积分为零已经排除全部其他支撑及连续部分，所以代表在所有正测度中唯一。于是

$$c_3=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}i=\frac{2+i}{3}.$$

还可以把已知第一矩后的所有合法第二矩画成准确圆盘。先消去中间对角元一，Schur补为

$$S=\left(\begin{array}{cc}R& \bar{\delta }\\ \delta & R\end{array}\right),R=1-|b{|}^2=\frac{4}{9},\delta =c_2-b^2.$$

故合法当且仅当 $|c_2-b^2|\le 4/9$。当前 $b^2=1/3-4i/9$，所以 $\delta =4i/9$ 恰在边界，解释了秩下降。

若第三项改为 $1/3+i\epsilon$，同一个向量 $a$ 已给

$$a^{\ast }{T}_2(\epsilon )a=-2\epsilon <0.$$

任意严格正的准确扰动都会越界。对含噪数据不能先把这个负值当成零，再宣称恢复了唯一的两条真实谱线。

任务四：固定节点的质量最多能有多少 ​

仍只知道 $(c_0,c_1)=(1,3/4)$。分别最大化 $\mu (\{1\})$ 与 $\mu (\{i\})$，每次交准确上界、达到的测度和达到解唯一性的理由。最后解释这与任务二的非唯一性是否冲突。

解答 ​

$$T_1^{-1}=\frac{16}{7}\left(\begin{array}{cc}1& -3/4\\ -3/4& 1\end{array}\right).$$

对节点一，$v=(1,1{)}^{\mathsf{T}}$，所以 $v^{\ast }{T}_1^{-1}v=8/7$，最大质量为 $7/8$。扣除后质量 $1/8$、第一矩 $-1/8$，余下必为 $(1/8){\delta }_{-1}$，得到任务二的 ${\mu }_A$。

对节点 $i$，$v=(1,-i{)}^{\mathsf{T}}$，于是 $v^{\ast }{T}_1^{-1}v=32/7$，最大质量为 $7/32$。余矩为

$$c_0^{\prime }=\frac{25}{32},c_1^{\prime }=\frac{24+7i}{32}.$$

余Toeplitz矩阵PSD且秩一，其唯一节点满足 $z^{-1}=c_1^{\prime }/c_0^{\prime }=(24+7i)/25$，故

$${\mu }_B=\frac{7}{32}{\delta }_i+\frac{25}{32}{\delta }_{(24-7i)/25}.$$

第二节点的模为一，两个质量正且和为一；第一矩的虚部 $-7i/32$ 与 $+7i/32$ 抵消，实部为3/4，完整验收通过。

上界来自删去非负原子质量后的PSD必要条件：$T_1-wv{v}^{\ast }⪰0$ 强制 $0\le w\le (v^{\ast }{T}_1^{-1}v{)}^{-1}$。达到时余矩恰奇异，圆周矩定理保证它有唯一代表，因而不仅能逼近界，还真的达到，并且固定目标节点后的最大化解唯一。

两个任务优化不同节点，没有理由交同一份测度。它们与连续Poisson密度共同匹配原始前缀；后者在每个单点的原子质量都为零。有限矩本身没有唯一代表，额外的“让这个点质量最大”才选定一份。

复算范围 ​

程序准确核Laurent系数、完整给定根表、Toeplitz正性与负方向、最小核多项式、原子质量及全部输入矩。线性与二次核若根为有理实部/虚部，可自动恢复；更高次核可以输入完整的有理复数根表并逐项验收；若因子或根离开有理复数，其代数证书必须在本程序之外处理。程序不会把未取得的代数根默认为浮点近似，也不把检查某份原子表说成通用噪声谱估计。

全部完成时，读者应能明确区分：完整谱非负与有限矩可延拓，规范因子与任意同模因子，边界零与稳定逆，奇异矩唯一与正定矩多解，以及固定原子的达到优化与未经约束的频谱选择。