实验比较：随机核、风险下界与鞅质量表 ​

把“信息更多”写成可以验收的数据，需要同时记住参数行、输出列和后处理方向。这份终点要求交付精确概率表，并让风险或凸函数提供另一侧证据。先读凸序与鞅耦合理路凸序与保持条件均值的耦合Convex order and martingale coupling · Mean-preserving spread · 凸随机序在有限实值分布上，用所有凸函数、有限个折线探针与保持每个源点条件均值的输运表，等价刻画均值不变的分散增加。、Blackwell实验比较理路Blackwell统计实验比较Blackwell comparison of experiments · Blackwell–Sherman–Stein theorem · Blackwell informativeness order对有限统计实验，证明参数无关的随机后处理存在，当且仅当原实验在全部有限决策问题中都不更差，并给出核与分离损失两类证书。、缺陷距离理路Le Cam缺陷距离与决策误差Le Cam deficiency distance · Deficiency of statistical experiments · Randomization theorem for finite experiments在有限实验间最小化统一随机模拟的最坏总变差误差，用有界决策风险的精确对偶及原始—对偶证书核验近似信息保留。；完成后回到本路线。

任务一：分类准确率相同，为什么仍损失了信息 ​

三个参数、三个源输出，实验矩阵为

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1/2& 1/2& 0\\ 0& 1/2& 1/2\\ 1/2& 0& 1/2\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}2/3& 1/3\\ 1/6& 5/6\\ 1/2& 1/2\end{array}\right).$$

求一个$3\times 2$行随机核，使$PK=Q$。核不能根据参数改变。再判断是否可能从$Q$准确模拟$P$。最后在均匀先验下比较猜三类参数的$0$–$1$最优风险，并解释为什么这一个风险不足以判实验等价。

解答与证书。 逐列解线性方程，得到唯一的核

$$K=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/3& 2/3\\ 0& 1\end{array}\right).$$

三行非负且和为一，直接矩阵相乘得到$Q$。唯一性来自$\det P=1/4\ne 0$。反向若有$2\times 3$核$H$使$QH=P$，左边秩至多2，右边秩为3，矛盾。

均匀先验下，最佳正确率是每个输出列的最大参数概率相加，再除以3。$P$给$(1/2+1/2+1/2)/3=1/2$；$Q$给$(2/3+5/6)/3=1/2$，所以两边风险都为$1/2$。

要交一份具体失败任务，可把先验限在参数1、2，各占一半，并要求区分它们。两行在$P$中的TV为$1/2$，在$Q$中为$1/3$，最优错误分别为$1/4$与$1/3$。因此逆向模拟的有界风险缺口至少为$1/12$。这里的参数1、2按矩阵行从0开始编号，不能误取前两行。若想使用全支持均匀先验，可把参数0上的两行动损失都设为零，得到风险缺口$1/18$。

任务二：一份非对称仪器的最坏模拟误差 ​

源实验与完美目标分别为

$$P=\left(\begin{array}{cc}4/5& 1/5\\ 2/5& 3/5\end{array}\right),Q=I_2.$$

设后处理在源输出0、1时分别以概率$r_0,r_1$报告参数1。不要只在公平先验下优化。找统一核，使两参数的TV误差最大值最小；再用先验和奖励表交一份同值下界。

解答与证书。 两个误差为

$$e_0=\frac{4}{5}{r}_0+\frac{1}{5}{r}_1,e_1=1-\frac{2}{5}{r}_0-\frac{3}{5}{r}_1.$$

取$r_0=1/6,r_1=1$，即

$$K=\left(\begin{array}{cc}5/6& 1/6\\ 0& 1\end{array}\right),$$

得到$PK$两行分别为$(2/3,1/3)$和$(1/3,2/3)$，故上界为$1/3$。

取先验$\pi =(1/3,2/3)$，奖励$u_{\theta a}=\mathbf{1}\{\theta =a\}$。完美目标奖励为1。源实验在输出0处，两行动的未归一化正确质量都为$4/15$；输出1处，最好选择参数1，正确质量为$2/5$。因此最高源奖励是$2/3$，式(10)型对偶下界为$1/3$。上下相遇，认证$\delta (P,I_2)=1/3$。

公平先验的最优分类错误只有$3/10$，不足以给这个最坏参数下界。请同时验收损失归一化、先验和为一、核行和为一、两项TV，以及两个输出处的最优回应。最终值不是一次模拟试验的错误频率。

任务三：从后验质量表重建真正的随机核 ​

先验为$\text{Pr}(\theta =1)=1/2$。细后验$U$取$0,1/2,1$，边缘质量为$1/6,2/3,1/6$；粗后验$V$取$1/3,2/3$，各占一半。给出$E[U\mid V]=V$的联合表，并据此重建参数到输出的两份实验和后处理核。再找一份损失证明细信号严格更好，即使公平先验下普通二类错误相同。

解答与证书。 以粗后验为行、细后验为列，取

$$\gamma =\left(\begin{array}{ccc}1/6& 1/3& 0\\ 0& 1/3& 1/6\end{array}\right).$$

边缘正确；两行的一阶矩分别为$1/6,1/3$，除以行质量$1/2$后恰为$1/3,2/3$。Bayes公式反推的两份实验为

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1/3& 2/3& 0\\ 0& 2/3& 1/3\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}2/3& 1/3\\ 1/3& 2/3\end{array}\right).$$

后处理按细信号的边缘质量归一化$\gamma$的转置，得到

$$K=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/2& 1/2\\ 0& 1\end{array}\right),PK=Q.$$

中间细后验值必须抛公平币。它不是把后验$1/2$武断地舍入到某一侧。

两实验的TV都是$1/3$，所以公平先验下对称分类错误都为$1/3$。但取$t=1/4$，有$E(U-t{)}_{+}=7/24$，$E(V-t{)}_{+}=1/4$。定义两个行动：行动0的奖励在两参数下都为$t$，行动1的奖励分别为0、1。奖励表为

$$u=\left(\begin{array}{cc}1/4& 0\\ 1/4& 1\end{array}\right),L=1-u.$$

后验$p$处最优奖励为$max\{t,p\}=t+(p-t{)}_{+}$。因此细、粗实验的最优损失分别为$11/24,1/2$，差为$1/24>0$。同一个普通分类任务没有看到的信息，另一份有界决策任务能够看到。

另核$E[(U-V{)}^2]=E[U^2]-E[V^2]=1/3-5/18=1/18$。方向是粗到细保持条件均值，而随机核的运行方向是细信号到粗信号，二者不能把矩阵未经转置归一化就互换。

任务四：最省距离的普通耦合为何未必是鞅 ​

源律为$\mu =\frac{1}{2}{\delta }_0+\frac{1}{2}{\delta }_1$，目标律为$\nu =\frac{1}{4}({\delta }_{-1}+{\delta }_0+{\delta }_1+{\delta }_2)$。按分位数单调配对，得到普通计划

$$\eta =\left(\begin{array}{cccc}1/4& 1/4& 0& 0\\ 0& 0& 1/4& 1/4\end{array}\right).$$

检查它的每一行条件均值。另交两份不同的鞅计划，比较三份计划的平方搬运成本，判断平方成本能否在鞅可行域中选出唯一计划。

解答与证书。 $\eta$的行条件均值为$-1/2,3/2$，不是源值$0,1$。它保留边缘，却不符合鞅合同。平方成本为$1/2$。

下面两张不同的表都可行：

$${\gamma }^{(1)}=\left(\begin{array}{cccc}1/4& 0& 1/4& 0\\ 0& 1/4& 0& 1/4\end{array}\right),{\gamma }^{(2)}=\left(\begin{array}{cccc}1/6& 1/4& 0& 1/12\\ 1/12& 0& 1/4& 1/6\end{array}\right).$$

逐列质量都是$1/4$；每行质量为$1/2$；第一行一阶矩为0，第二行为$1/2$，故行条件均值为0、1。两份平方成本都为1。事实上，任何鞅计划的平方成本都等于$E[Y^2]-E[X^2]=3/2-1/2=1$，所以这一目标在整个鞅可行集合上恒定，不能选出唯一计划。

这不违背普通平方输运的最优性：添加逐行重心约束改变了可行集合。也不能由$\eta$的成本更小，反过来宣称凸序不存在。

最后给一份失败输入：将目标改为$\frac{1}{20}{\delta }_{-4}+\frac{9}{10}{\delta }_0+\frac{1}{20}{\delta }_4$，源改为$\frac{1}{2}({\delta }_{-1}+{\delta }_1)$。虽然目标方差更大，$t=0$的折线比较已经失败；程序应返回这个具体折点，不接受“方差通过”作为鞅计划存在证书。

公开复算与范围 ​

标准库检查程序与固定结果会用有理数核验核、风险、对偶值、后验和鞅表，并在小型二元实验族中独立求原始LP与对偶风险证书。运行时给--output指定自己的目录；普通与优化模式输出应逐字相同。

这些有限复算支持具体证书，不替代正文的分离、有限minimax与线性可行性证明。程序不会由一次分类准确率、方差大小或求解器状态推断一般实验优劣。连续或无限实验、一般高维凸序及任意鞅输运最优算法不在此终点的验收范围内。