返回学习路线

更新与再生单元验收题及解答 ​

情境与交付要求 ​

每次维修结束后设备重新开机。各周期独立同分布，工作时长 $A$ 服从速率 $\alpha >0$ 的指数分布，维修时长固定为 $b>0$，两者均用小时计。每单位工作时间的净产出为 $r$，每次维修另花费 $c$。请明确周期起点、计数、时间收益、随机观察机制以及所有矩条件。

推导应能解释：周期数何时计入；周期收益与长度是否需要独立；为何固定时刻工作概率的极限与时间可用率在这里相同；随机观察的剩余周期长度为何不是平均周期的一半；若把工作时长也改成固定值，哪些结论仍成立、哪些需修改。

周期和长期收益 ​

周期从一次开机到下一次开机，长度 $C=A+b$，均值 $\mu =1/\alpha +b$。已完成更新数 $N(t)$ 不包含零时刻，也不包含尚未完成的周期。由更新强大数定律，

$$\frac{N(t)}{t}⟶\frac{1}{\mu }=\frac{1}{1/\alpha +b}\text{几乎必然},$$

单位是每小时完成的周期数。

工作时间是周期收益 $A$，所以长期可用率为 $EA/EC=1/(1+\alpha b)$。净收益为 $rA-c$，长期净收益率为

$$\frac{rEA-c}{EC}=\frac{r/\alpha -c}{1/\alpha +b}.$$

$A$ 和 $C$ 显然相关；定理要求的是不同周期向量独立，不要求周期内这两个量独立。未完成周期的工作时间不超过周期长度，有限 $EC$ 控制了时间平均的末尾误差。

确定时刻的工作概率 ​

令 $p(t)$ 表示从零时刻开机后，时刻 $t$ 正常工作的概率。首次周期分解给出

$$p(t)=P(A>t)+{\int }_{(0,t]}p(t-s)d{F}_C(s).$$

$C$ 是平移后的连续分布，故非格点；$g(t)=e^{-\alpha t}$ 非负、递减、可积。关键更新定理因此给出 $p(t)\to EA/EC$。这里多检查的非格点条件，是从时间平均走到固定时刻分布所需的一步。

随机观察的剩余周期 ​

在平稳的随机时间观察下，剩余周期 $R$ 的尾概率为 $E(C-x{)}_{+}/\mu$。若 $0\le x<b$，所有周期都长于 $x$，所以 $P(R>x)=(\mu -x)/\mu$；若 $x\ge b$，指数尾积分给出

$$P(R>x)=\frac{e^{-\alpha (x-b)}}{1+\alpha b}.$$

两段在 $x=b$ 连续，$x=0$ 处等于一。这两项端点检查可以发现遗漏平衡归一化常数的错误。

二阶矩为 $E{C}^2=2/{\alpha }^2+2b/\alpha +b^2$。因此

$$ER=\frac{E{C}^2}{2EC}=\frac{2/{\alpha }^2+2b/\alpha +b^2}{2(1/\alpha +b)}=\frac{\mu }{2}+\frac{1}{2{\alpha }^2\mu }.$$

第二项严格为正，反映工作寿命的随机波动。这个 $R$ 是到下一次开机的剩余时间，不是“若此刻故障，还需维修多久”，也不是只在工作时刻条件抽样的剩余工作寿命。

确定周期反例 ​

若改成 $A\equiv a>0$，则 $C\equiv a+b$。长期更新率 $1/(a+b)$、时间可用率 $a/(a+b)$、净收益率 $(ra-c)/(a+b)$ 都成立。平稳观察可通过均匀随机相位实现，$ER=(a+b)/2$。

可是从零相位启动时，工作概率是周期方波，没有逐时刻极限；长度小于周期的移动窗口更新数也保留相位。此时不能直接使用非格点 Blackwell 或关键更新定理。周期报酬的时间平均与固定时刻的边缘概率，是两个不同的极限问题。

可操作的通过标准 ​

• 写出 $C,S_n,N(t)$ 并说明两个端点约定
• 给出三个正确且带单位含义的长期比值，并指出周期内相关不妨碍定理
• 由首次周期分解得到 $p(t)$ 的方程，逐项核验关键更新定理条件
• 独立推导 $R$ 的分段尾分布，并由二阶矩或尾积分得到同一个 $ER$
• 在确定周期反例中分别标出时间平均、平稳初始化与固定起点逐时刻极限
• 若一般周期只有有限一阶矩而二阶矩无穷，能指出更新率仍可有限而 $ER=\mathrm{\infty }$

参考材料见单元十篇正文各自的教材链接；本题的符号模型与分段计算为本单元推导。