连续时间链与排队单元验收题及解答

任务

设备在工作态 $U$ 与维修态 $D$ 之间变化，故障速率为 $\alpha=1$ 每小时，维修完成速率为 $\beta=2$ 每小时。从工作态启动，求生成矩阵、转移概率与稳态，并用均匀化给出一小时转移分布的可验证近似。

另有一台独立的服务者，顾客以每小时 $\lambda=1$ 的 Poisson 流到达，服务均值为 $b=1/2$ 小时。先假定指数服务，再换成恒定服务，比较平均等待。最后解释为何这里不能将设备维修链的工作概率直接当成队列的服务能力。

设备链为

Q=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix},\qquad P_{UD}(t)=\frac13(1-e^{-3t}),\qquad \pi=(2/3,1/3).

验算应包括 $P_{UD}(0)=0$ 、 $P'_{UD}(0)=1$ 、长期值 $1/3$ ，并检查完整 $P(t)$ 的非负性和行和。

均匀化选 $\nu=2$ ，离散候选矩阵

R=I+Q/2=\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1&0\end{pmatrix}.

从 $p_0=(1,0)$ 出发，取 $K=2$ 得

\widehat p(1)=e^{-2}(7/2,3/2),\qquad \|p(1)-\widehat p(1)\|_1=1-5e^{-2}.

该尾误差很大，所以这只是验证算法的前三步，不应冒充高精度计算。若要求误差不超过 $\varepsilon$ ，须继续到满足 $P(\operatorname{Pois}(2)>K)\le\varepsilon$ 的 $K$ 。候选时钟自环不计作真实故障或修复。

指数服务时 $\mu=1/b=2$ 每小时， $\rho=1/2<1$ ，有

\pi_n=2^{-(n+1)},\quad L=1,\quad L_q=1/2, \quad W=1\text{ 小时},\quad W_q=1/2\text{ 小时}.

Little 定律分别核验 $L=\lambda W$ 与 $L_q=\lambda W_q$ ，且 $W-W_q=b$ 。稳定性来自 $\rho<1$ 下几何级数可归一化，不能只报告服务速率大于到达率而不说明其作用。

换成恒定服务 $S\equiv b$ 后，保持同一 $\rho$ ，由 M/G/1 均值公式

EW_q=\frac{\lambda b^2}{2(1-\rho)}=1/4\text{ 小时}, \qquad EW=3/4\text{ 小时}.

等待比指数服务减半，是因为服务二阶矩由 $2b^2$ 降到 $b^2$ 。若改成等概率 $b/2$ 与 $3b/2$ ，则 $ES^2=5b^2/4$ ，得到 $EW_q=5/16$ 小时。三种模型服务均值相同，平均等待不同。

设备链与队列是两个不同模型。若服务者会故障，故障时暂停、重做还是转移任务必须另行声明；服务完成和维修状态也可能相关。不能只把 $\mu$ 乘以可用率，便声称仍有标准 M/M/1 的精确等待公式。