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U10：同一张三叶结图的五种计算 ​

题目 ​

使用三叶结三弧图：过弧 $a$ 把欠弧 $b$ 接到 $c$，过弧 $b$ 把 $c$ 接到 $a$，过弧 $c$ 把 $a$ 接到 $b$，三个交叉均为正。

1. 写出 Wirtinger 呈示，化为两生成元呈示，并证明结群非交换。
2. 求模三的全部染色数，分清常值与非常值染色。
3. 对两圆盘、三条半扭转带的标准 Seifert 曲面，采用推离第一个输入的矩阵 $V=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$，计算 Alexander 多项式，并证明最小亏格为一。
4. 用两股辫 ${\sigma }_1^3$ 的八个 bracket 状态求 Jones 多项式，核验一次正 Reidemeister I 的归一化。说明结和镜像的关系。
5. 解释为什么 $B_1$ 的单位辫与 $B_2$ 的 ${\sigma }_1$ 可有同一个闭包，而两个三叶结连通和的亏格为二。

答案 ​

群呈示为

$$⟨a,b,c\mid c=ab{a}^{-1},a=bc{b}^{-1},b=ca{c}^{-1}⟩.$$

消去 $c$，第二条化为 $aba=bab$；第三条由这一关系推出：

$$ca{c}^{-1}=aba{b}^{-1}{a}^{-1}=bab{b}^{-1}{a}^{-1}=b.$$

所以群为 $⟨a,b\mid aba=bab⟩$。映射 $a\mapsto (12)$、$b\mapsto (23)$ 满足关系，且像生成 $S_3$，因此是到非交换群的满同态。结群非交换，而平凡结群为 $\mathbb{Z}$，所以三叶结非平凡。

模三染色满足 $2a=b+c$、$2b=c+a$、$2c=a+b$。由于 $2=-1$，三式都等价于 $a+b+c=0$，故任意选择 $a,b$ 后 $c$ 唯一，有九种。$a=b$ 给三种常值；$a\ne b$ 时三色全不同，给六种非常值染色。平凡结只有三种常值染色，与之不同。

给定的 Seifert 矩阵中，对角项是自推离环绕数，非对角项分别是 $\mathrm{lk}({\alpha }^{+},\beta )=0$ 和 $\mathrm{lk}({\beta }^{+},\alpha )=1$。计算

$$\det (V-t{V}^{\mathsf{T}})=\det \left(\begin{array}{cc}t-1& -t\\ 1& t-1\end{array}\right)=t^2-t+1.$$

乘以允许的单位 $t^{-1}$，得到对称归一化 $\mathrm{\Delta }=t-1+t^{-1}$，且 $\mathrm{\Delta }(1)=1$。曲面有 $\chi =2-3=-1$，边界一个分支，所以构造曲面亏格为一，给上界。多项式跨度为二，而一般跨度至多为曲面亏格的两倍，给下界一。因此最小亏格恰为一。

令 $\delta =-A^2-A^{-2}$。在 ${\sigma }_1^3$ 中按 $B$-平滑个数 $0,1,2,3$ 分组，状态数为 $1,3,3,1$，圆数为 $2,1,2,3$，所以

$$⟨D⟩=A^3\delta +3A+3A^{-1}\delta +A^{-3}{\delta }^2=-A^5-A^{-3}+A^{-7}.$$

因为 $w(D)=3$，归一化得到

$$(-A^3{)}^{-3}⟨D⟩=A^{-4}+A^{-12}-A^{-16}.$$

代 $A=t^{-1/4}$，得 $V_K(t)=t+t^3-t^4$。一次正扭圈使 bracket 乘 $A\delta +A^{-1}=-A^3$，同时使 writhe 加一，两因子相消，所以没有改变 Jones 值。镜像给出 $V_K(t^{-1})=t^{-1}+t^{-3}-t^{-4}$，与原值不同，因而区分这对镜像；Alexander 多项式在这对镜像上则相同。

从一股单位辫正稳定化得到两股 ${\sigma }_1$，闭包中的唯一交叉可用 I 型消去，所以仍是平凡结。这是 Markov 稳定化的具体例子，并不声称它们属于同一个辫群。两个三叶结的曲面沿边界连接，得到亏格二的上界；其 Alexander 多项式为 $(t-1+t^{-1}{)}^2$，跨度四给下界二，因此连通和亏格恰为二。

验收标准 ​

• 必须从过欠弧关系写共轭，不能把交叉当交换关系
• 三弧颜色是同一个结的弧，不是三个分支
• 原始 Alexander 行列式与对称归一化相差 $t^{-1}$，属于允许的单位因子
• Jones 状态数必须合计八，且 writhe 归一化先于变量替换
• 不变量不同能证不等价；某个不变量相同不能反推等价
• 曲面构造只给上界，亏格答案须另有下界