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U13 单元验收：从前缀空间到可测分类 ​

任务 ​

1. 为 $2^{\mathbb{N}}$ 与 ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ 给出相容完备度量和可数稠密集，分别判断紧性
2. 在 Cantor 空间中，将“最终恒零”集合 $F$ 与“无限次出现一”集合 $I$ 放入 Borel 层级，并证明给出的第二层不能再降到对偶第二类
3. 把“树有无限分支”写成闭集投影，指出这与“树有任意长结点”的区别
4. 对实数上的 $xEy⟺x-y\in \mathbb{Z}$，给出到相等关系的 Borel 归约，验证双向条件
5. 说明 Polish、标准 Borel、Borel 集、解析集与相对某测度可测分别在断言什么；给至少一个不能反推的实例

完整解答 ​

1. 同一种前缀度量，不同紧性 ​

不同序列首次在坐标 $k$ 不同时，取 $d(x,y)=2^{-k}$，相同则取零。若两对序列各共享前 $n$ 位，第三对也共享这些位，所以满足超度量三角不等式。固定有限前缀的柱集构成相同的拓扑基。

Cauchy 列在每个固定坐标最终稳定，逐坐标取最终值即为极限；因此两种空间都完备。有限前缀后接全零的序列可数且与每个柱集相交，所以都可分。

Cantor 空间每层只有有限个柱集。对序列列反复抽取坐标相同的无限子列，再对角抽取，得到收敛子列，故紧。Baire 空间的首位柱集 $[⟨0⟩],[⟨1⟩],\dots$ 覆盖全空间而无有限子覆盖，故不紧。

2. 量词写成可数并交，再补一个下界证明 ​

令 $E_n=\{x:x(n)=1\}$，它开闭。于是

$$F=\bigcup _N\bigcap _{n\ge N}(2^{\mathbb{N}}\setminus E_n)\in {\mathrm{\Sigma }}_2^0,I=\bigcap _N\bigcup _{n\ge N}{E}_n\in {\mathrm{\Pi }}_2^0.$$

$F$ 可数且稠密，单点均无处稠密。若 $F$ 也是 $G_{\delta }$，写成稠密开集之交；再逐个删除 $F$ 中的点，得到另一个可数稠密开交。两组交合并后按 Baire 范畴定理应非空，却等于空集。因此 $F\notin {\mathrm{\Pi }}_2^0$，取补得到 $I\notin {\mathrm{\Sigma }}_2^0$。只写出表达式而没有这一排除论证，只完成了上界。

3. 见证必须是一条相容无限路径 ​

把树 $T\subseteq {\mathbb{N}}^{<\mathbb{N}}$ 编码为特征序列，定义

$$C=\{(T,y):\mathrm{\forall }ny\upharpoonright n\in T\}.$$

若某一对不属于 $C$，一个有限前缀不在树中就能作证，故 $C$ 闭。其投影为有无限分支的树集合 $\mathrm{IF}$，因此解析。已知它解析完全，特别不是 Borel；补集良基树集合余解析而不解析。

反例树 $T=\{\varnothing \}\cup \{⟨n⟩0^k:0\le k\le n\}$ 有任意长结点，但固定首位后只能再走有限步。它的根无限分支，不能使用有限分支版本的 König 引理。

4. 分类标签必须不合并不同类 ​

取 $f(x)=x-\lfloor x\rfloor$。它分段连续，因而 Borel。若 $x-y$ 为整数，两小数部分相同；若小数部分相同，则 $x-y=\lfloor x\rfloor -\lfloor y\rfloor$ 为整数。于是 $xEy⟺f(x)=f(y)$。

$f$ 不对点单射，例如 $0.4$ 与 $2.4$ 同像；这是允许的，因为它们本就属于同类。常值函数只满足一个方向，不能用于完整分类。

5. 区分对象层次 ​

Polish 是拓扑空间存在相容完备可分度量的性质；标准 Borel 是可测空间能由某种 Polish 拓扑实现的性质。通常拓扑的 $\mathbb{Q}$ 不 Polish，但其 Borel σ-代数是全部子集，改用离散 Polish 拓扑可实现，所以其可测结构标准 Borel。

Borel 与解析是在指定 Polish 空间中对子集描述复杂度的判断。Borel 集均解析，非 Borel 的 $\mathrm{IF}$ 说明反向失败；若一个集合与补集都解析，Lusin 分离再经 Souslin 定理才推出它 Borel。

“可测”必须说明 σ-代数或测度完备化。实线零测 Cantor 集的任意子集都 Lebesgue 可测，其中有非 Borel 子集：Cantor 集有 $\mathfrak{c}$ 个点，其子集数为 $2^{\mathfrak{c}}$，而实线 Borel 集只有 $\mathfrak{c}$ 个。可测不等于 Borel，更不等于可算法判定。

验收标准 ​

五项均须完成。允许更换等价度量或其他正确例子，但必须保留：逐坐标极限及尾部/前缀控制、Borel 上界之外的非对偶类证明、闭见证与相容路径、归约的双向条件，以及可测结构与拓扑的区分。把非紧说成不完备、把任意长分支当成无限分支、或把可测说成可计算，均视为关键条件未掌握。

依据与阅读路径 ​

按 Polish 空间 → Cantor/Baire 空间 → Baire 范畴 → 标准 Borel → Borel 层级 → 解析/余解析 → Lusin 分离 → Souslin → 完美集 → Borel 归约阅读。证明依据为 Marker《Descriptive Set Theory》§§1–5、9 与 Preston《Some Notes on Standard Borel and Related Spaces》§§1、6。