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U18：同一个混态的纠缠、非局域性与可转换资源 ​

题目 ​

令 ${\rho }_p=p{\mathrm{\Phi }}_2+(1-p)I_4/4$，取 $p=1/2$。

1. 在 $00,01,10,11$ 顺序下计算部分转置的谱，并构造一个负期望见证。
2. 分别判断 Schmidt 概率 $(1/2,1/2)$ 与 $(0.8,0.2)$ 的两个确定性 LOCC 转换方向。再判断 $(0.5,0.25,0.25)$ 与 $(0.45,0.4,0.15)$ 是否可比较。
3. 对 $A_0=Z,A_1=X,B_0=(Z+X)/\sqrt{2},B_1=(Z-X)/\sqrt{2}$，算出四个关联与 CHSH 量。这个结果对纠缠与传信分别说明什么？

解答 ​

部分转置的三个对称方向特征值为 $(1+p)/4=3/8$，反对称方向为 $(1-3p)/4=-1/8$，所以状态纠缠。令

$$W=\frac{1}{2}{I}_4-{\mathrm{\Phi }}_2.$$

乘积纯态与 Bell 态的平方重叠至多 $1/2$，故 $W$ 在所有可分态上期望非负。当前态的 Bell 重叠为 $(1+3p)/4=5/8$，所以 $\mathrm{Tr}(W{\rho }_{1/2})=1/2-5/8=-1/8$。

纯态确定转换要求输入 Schmidt 概率被输出概率主序支配。$0.5\le 0.8$，故 Bell 态可转成后一纯态；反向 $0.8\le 0.5$ 不成立。三维例子中，第一前缀为 $0.5>0.45$，第二前缀为 $0.75<0.85$，所以两个方向各有一个失败前缀，互不可比较。

白噪声对无迹 Pauli 关联贡献为零，四个关联是

$$E_{00}=E_{01}=E_{10}=p/\sqrt{2}=1/(2\sqrt{2}),E_{11}=-1/(2\sqrt{2}).$$

因此 $S=2\sqrt{2}p=\sqrt{2}<2$，这组测量没有违反 CHSH。状态纠缠已经由负部分转置与见证确定，不能被这次 CHSH 未检出推翻；也不能由这组设置未违规就断言所有可能的 Bell 实验都局域。

Alice 对自己的系统执行任何完整量子信道，Bob 的边缘态仍为 $I/2$。他单独看自己的结果无法读出 Alice 的选择；只有双方后来交换设置与结果，才能计算这些关联。纠缠、特定 Bell 违规与实际通信是不同判据。

验收标准 ​

• 部分转置只交换一侧指标，不是完整转置或偏迹
• 见证既证明目标负值，也证明全部可分态非负
• 主序方向正确，且检查全部前缀，不仅比较熵
• CHSH 用四组本地设置的统计，保留实验假设；不得推导超光速通信