返回Frobenius与线性化路线

本终点将正规基理路有限域正规基与 Frobenius 循环坐标Normal basis of a finite field · Finite-field normal elements证明任意有限域扩张都有共轭正规基，以多项式商环单位计数正规元素，并处理特征整除次数、非零迹及改底域的边界。、线性化算子理路线性化多项式与有限域算子代数Linearized polynomial operator algebra · q-polynomial and Dickson matrix用q幂多项式唯一表示有限域上的全部底域线性算子，构造迹插值、Moore与Dickson矩阵、复合逆及迹伴随的可解性证书。和子空间根积理路子空间多项式的交、和与核计算Subspace polynomial calculus · Finite-field subspace annihilator polynomial以首一线性化根积唯一编码有限域子空间，逐基递推构造，再用普通gcd算交、复合算和，并提取线性算子的核与像。放到同一份输入上。每一步都交付可以换一种表示复核的对象，不只给一个名称或“测试通过”。

下载标准库精确程序及完整结果。普通运行与 python -O 的JSON应逐字相同；用 --output result.json 指定自己的输出文件。主域为 ${\mathbb{F}}_2[a]/(a^4+a+1)$。程序把 $c_0+c_{1}a+c_2{a}^2+c_3{a}^3$ 编成整数 $c_0+2c_1+4c_2+8c_3$；这些整数是坐标标签，乘法不是模16乘法。

任务一：三个生成条件，哪一个真的交付循环坐标 ​

输入 $a$ 与 $\alpha =a^3$。先分别输出其Frobenius轨道，列出幂基坐标矩阵并求秩；再求乘法阶。应得到

$$\begin{array}{cccc}\text{元素}& \text{轨道的整数标签}& \text{共轭列秩}& \text{乘法阶}\\ a& (2,4,3,5)& 3& 15\\ a^3& (8,12,15,10)& 4& 5\end{array}$$

$a$ 的四个共轭互异，却相加为零；$a^3$ 的共轭列矩阵就是正规基页的 $C$，行列式为一。由 $\sigma ({\alpha }^{2^j})={\alpha }^{2^{j+1}}$ 核 $\sigma$ 的坐标循环方向，不能把左移与右移混用。

继续枚举全部16个元素。由于 $T^4-1=(T-1{)}^4$，正规元素为标签 $8,9,\dots ,15$，恰好八个；也就是迹为一者。固定 $\alpha$ 后，对每个四维二元系数表 $g$，分别核共轭列秩与 $gcd(g,T^4-1)=1$，这两种判断必须一致。

为正规基求迹对偶，首个对偶元素应为 $a+a^2+a^3$，标签14。它的其余共轭是其余对偶向量。检查全部16个配对，得到单位矩阵；不要只检查第一对，也不要把正规基默认当成自对偶基。

最后改底域为 $K^{\prime }=\{0,1,b,b+1\}$，$b=a^2+a$。相对Frobenius改为四次幂，$a+a^4=1$，所以原来不正规的 $a$ 现在正规。相对正规元素恰为不在 $K^{\prime }$ 中的12个元素。请在交付中写明这两次“正规”的底域分别是什么。

任务二：同一个线性算子的三张证书 ​

可逆算子 ​

取 $\ell (X)=X^4+aX$。交出它在幂基下的矩阵 $A$、Dickson矩阵 $D$ 和Moore换基矩阵 $B=(a^{j{2}^i}{)}_{0\le i,j<4}$，核

$$DB=BA,\det A=\det D=1.$$

迹对偶幂基为 $(1+a^3,a^2,a,1)$。把 $\ell (1),\ell (a),\ell (a^2),\ell (a^3)$ 代入系数公式，必须恢复低次 $q$-系数表 $(a,0,1,0)$，而不是把这张表误作普通次数0至3的系数。

逆算子为

$$m(X)=(a^3+a)X+(a^2+a)X^4.$$

两次约简复合都应为 $X$。未约简的一个方向则是

$$\ell (m(X))=(a^2+a+1)X+(a^2+a)X^{16},$$

作为形式多项式不等于 $X$；代入 $L$ 并使用 $x^{16}=x$ 后才相等。这一行同时检查复合方向、系数Frobenius扭转和函数约简。

一个确实无解的右端 ​

改用 $s(X)=X^2+aX$。输出它的秩三矩阵、核 $\{0,a\}$、伴随 $s^{†}(X)=X^8+aX$ 及伴随核 $\{0,z_0\}$，其中 $z_0=1+a^2+a^3$，标签13。

$T(z_0)=1$，因此 $s(x)=1$ 没有解。对右端 $1+a$，先验 $s(1)=1+a$，再由核给出全部解 $1,1+a$。程序对每个右端比较直接像集合与全部伴随核迹等式；两个入口必须完全一致，不能仅凭一次搜索没有返回候选就认定无解。

任务三：用两种多项式运算处理交与和 ​

输入 $W=⟨1,a⟩$、$U=⟨1,a^2⟩$，底域仍为 ${\mathbb{F}}_2$。独立列出元素集

$$W=\{0,1,a,1+a\},U=\{0,1,a^2,1+a^2\}.$$

由逐基递推构造

$$P_W=X^4+(b+1)X^2+bX,P_U=X^4+b{X}^2+(b+1)X.$$

再把四个一次因子直接乘开，确认得到同一结果。交空间的首一普通gcd为 $X^2+X$。算和时先求 $P_W(U)=\{0,b+1\}$，再做形式复合

$$(X^2+(b+1)X)\circ P_W=X^8+X^4+X^2+X.$$

输出根集的八个元素与维数三。普通lcm只有六次，因为它只记录 $W\cup U$；请指出漏掉的混合元素 $a+a^2$，并解释这里不能用lcm代替和空间。

再将任务二的 $s$ 平方。$s^2$ 每个根有重数二，但与 $X^{16}-X$ 的普通gcd应仍为 $s$。对已解右端 $1+a$，交出仿射解集根积 $s(X)+(1+a)$；它含常数项，不能再标为某个线性子空间的根积。

任务四：迁移与拒绝不能只停留在二元例子 ​

公开程序还使用 ${\mathbb{F}}_8={\mathbb{F}}_2[c]/(c^3+c+1)$、${\mathbb{F}}_9={\mathbb{F}}_3[d]/(d^2+1)$，以及 ${\mathbb{F}}_{64}={\mathbb{F}}_2[e]/(e^6+e+1)$ 中固定于四次幂的底域 ${\mathbb{F}}_4$。每个商环都先检查全部非零类可逆，底域则按 $x^q=x$ 枚举；不能只把一份二进制乘法表换个标签。

正规元素的数量依次为：${\mathbb{F}}_8/{\mathbb{F}}_2$ 有3个，${\mathbb{F}}_9/{\mathbb{F}}_3$ 有4个，${\mathbb{F}}_{64}/{\mathbb{F}}_4$ 有27个。八元域中的1有非零迹却不正规，直接检验“非零迹足够”需要次数为特征幂这一前提。

程序穷举八元域上的全部512个二元线性算子、九元域上的全部81个三元线性算子、十六元域上的全部256个四元线性算子，检查系数插值、矩阵换基、秩、行列式、复合、逆、迹伴随、核gcd和像根积。对十六元域的二元结构及六十四元域的四元结构则明确只取20和67份确定样本，不声称穷举其全部算子。

子空间部分枚举二元四维空间的全部67个子空间，对4489个有序对检查交与和；三元二维的6个子空间和四元二维的7个子空间也逐对复核。维数分布分别为 $(1,15,35,15,1)$、$(1,4,1)$、$(1,5,1)$。换底域后空间数量改变，不能沿用原先的基长度或计数。

最后解释并复现四类失败：重复基向量使新增值 $c=0$，程序拒绝独立基声明；可约模多项式 $X^2+1$ 在二元域产生不可逆非零类，不能构成所需域；普通多项式除以零被拒绝；把 $X^q\circ (aX)$ 与 $(aX)\circ X^q$ 交换会给不同系数。对于全域根积 $X^{16}-X$，则应同时报告“形式多项式非零”与“函数恒零”，这是一份合法边界，不是非法输入。

最后交付 ​

提交域及底域、元素编码、正规共轭与换基矩阵、迹对偶、算子的两张矩阵和唯一系数表、双向约简复合、核像与迹障碍、两子空间的根积/gcd/和复合，以及全解纤维。公开检查使用显式异常，优化模式不会删除验收逻辑。有限穷举是实现交叉核；任意 $q,n$ 的存在性、表示唯一性与子空间恒等式仍由三篇正式页的证明承担。