区间证书：非负多项式与未知高阶矩

返回学习路线。路线先读区间非负多项式表示，再读截断Hausdorff矩。前者交一个在整段区间上有效的代数不等式，后者拿这个不等式检查矩表，并从等号恢复支撑。

标准库精确程序与发布结果使用有理数。程序检查供给的Gram矩阵、节点与权重，不宣称调用了通用半正定优化器。唯一一对无理节点通过两个有理隔离区间和二次递推核矩，不把小数近似当作相等。

任务一：找出全部合法参数，再交一份达到的最小值

输入区间 $[0,1]$ ，令

q=x^2-x+1/6,\qquad p_\gamma=q^2+\gamma x(1-x)(x-1/2)^2.

求全部使 $p_\gamma\ge0$ 于整个区间的实参数。对负参数必须给准确负点；对 $\gamma=1$ 求实际次数、最小值和达到点。检查时不可仅列一组密集采样值。

完整答案

若 $\gamma\ge0$ ，原表达已经是Markov–Lukács证书。用 $v_2=(1,x,x^2)^{\mathsf T}$ 、 $v_1=(1,x)^{\mathsf T}$ 写成Gram形式，取

u=(1/6,-1,1)^{\mathsf T},\quad w=(-1/2,1)^{\mathsf T},\quad G_0=uu^{\mathsf T},\quad G_1=\gamma ww^{\mathsf T}.

两个矩阵PSD，逐系数计算 $v_2^{\mathsf T}G_0v_2+x(1-x)v_1^{\mathsf T}G_1v_1$ ，即还原输入。即使 $\gamma$ 是正有理数而平方根不是有理数，也能交全有理Gram证书。

若 $\gamma<0$ ，取 $q$ 的任一根 $x_\pm=1/2\pm\sqrt3/6$ 。它们在 $(0,1)$ ，且

x_\pm(1-x_\pm)=1/6,\qquad (x_\pm-1/2)^2=1/12,\qquad p_\gamma(x_\pm)=\gamma/72<0.

这给出必要性，因此参数范围恰为 $[0,\infty)$ 。例如 $\gamma=-1/17$ 时负值为 $-1/1224$ ，没有采样精度问题。

一般系数展开为

p_\gamma=(1-\gamma)x^4+(-2+2\gamma)x^3+ (4/3-5\gamma/4)x^2+(-1/3+\gamma/4)x+1/36.

在 $\gamma=1$ ，前两项真的消失，剩下

p_1=\frac1{12}(x-1/2)^2+\frac1{144}.

所以实际次数二，最小值 $1/144$ 在 $1/2$ 达到。最后一式给全局下界，代入点给上界，两份证据相合。保留长度五但末两项为零的数组，不改变实际次数。

若只把某个Gram矩阵作小数近似，应报告近似结果与尚缺的误差认证，不能把“最小特征值约为零”直接当准确PSD。零多项式、非负常数和端点相同的单点区间也应走明确的接口分支。

任务二：两张看起来正常的表，分别错在哪里？

给定支撑必须在 $[0,1]$ ，判断以下两张准确二阶矩表能否来自正测度：

m^{(a)}=(1,1/2,1/8),\qquad m^{(b)}=(1,1/2,5/2).

第一张还声称：“已知阶数内所有 $L(x^k(1-x)^\ell)$ 非负，所以可行。”第二张声称：“Hankel矩阵正定，而且我能交一个实线正代表，所以可行。”分别核验前半句，再指出结论跳过了什么。

完整答案

对于第一张，六个已知基本探针 $1,x,1-x,x^2,x(1-x),(1-x)^2$ 的矩值依次为

1,\quad1/2,\quad1/2,\quad1/8,\quad3/8,\quad1/8.

它们确实非负。但 $h=(x-1/2)^2$ 也在整个区间非负，而

L(h)=m_2-m_1+m_0/4=-1/8.

因此不存在正代表。等价地， $H_1$ 在向量 $(-1/2,1)$ 上的二次型为负。有限阶基本差分没有覆盖全部非负多项式，不能借无限完整序列的定理补上未给出的高阶条件。

对于第二张， $H_1$ 的行列式为 $5/2-1/4=9/4>0$ ，首元也为正，所以正定。 $\tfrac12\delta_{-1}+\tfrac12\delta_2$ 的前三矩确实是输入值。但两个节点都不在目标区间；真正必要的支撑探针 $g=x(1-x)$ 给

L(g)=m_1-m_2=-2<0.

这份局部化负值直接拒绝 $[0,1]$ 代表。若允许整条实线，原候选仍然合法，不能说这张表在任何正测度合同下都不可能。

再核三个退化输入：全零矩表的唯一代表是零测度； $m_0=0,m_1=0,m_2=1$ 不合法；在单点区间 $[2,2]$ ，总质量三的唯一代表是 $3\delta_2$ ，其矩必须逐项为 $3\cdot2^k$ 。最后一种即使只给零阶矩也唯一，不服从非退化区间的多代表结论。

任务三：从前三矩求下一矩的完整区间

只给 $m_0=1,m_1=1/2,m_2=1/3$ 和支撑 $[0,1]$ 。求未知第三矩 $t$ 的所有可能值。交付不能停在两条必要不等式：还需给两个达到者，证明端点代表唯一，并解释每个中间值为什么都可达到。

完整答案

奇数阶判据要求

A_1=\begin{pmatrix}1/2&1/3\\1/3&t\end{pmatrix}\succeq0, \qquad B_1=\begin{pmatrix}1/2&1/6\\1/6&1/3-t\end{pmatrix}\succeq0.

分别以正首元 $1/2$ 配方，余量为 $t-2/9$ 与 $5/18-t$ ，所以

2/9\le t\le5/18.

两份非负多项式使同一计算更容易检查：

L\bigl(x(x-2/3)^2\bigr)=t-2/9,\qquad L\bigl((1-x)(x-1/3)^2\bigr)=5/18-t.

下端等号迫使支撑落在 $0,2/3$ 。总质量一和均值 $1/2$ 给权重 $1/4,3/4$ ，再核二、三阶： $\tfrac34(2/3)^2=1/3$ 、 $\tfrac34(2/3)^3=2/9$ 。因此

\mu_-=\tfrac14\delta_0+\tfrac34\delta_{2/3}

是唯一端点代表。

上端支撑落在 $1/3,1$ ，权重由前两矩给 $3/4,1/4$ 。二阶为 $\tfrac34(1/3)^2+1/4=1/3$ ，三阶为 $\tfrac34(1/3)^3+1/4=5/18$ ，故唯一代表是

\mu_+=\tfrac34\delta_{1/3}+\tfrac14\delta_1.

对任意 $t$ 在区间内，令 $\lambda=18(t-2/9)\in[0,1]$ 。测度 $(1-\lambda)\mu_-+\lambda\mu_+$ 匹配前三矩，并给出所需第三矩。这同时证明两个界锐利、端点取得、整个中间区间没有缺口。内部两矩阵都正定，代表并不唯一；刚写出的凸组合只是一个可以核验的选择。

若 $t=2/9-1/1000$ ，第一份探针矩值为 $-1/1000$ ；若 $t=5/18+1/1000$ ，第二份同样为负。拒绝证据来自同一套多项式，无需重新画图。

任务四：第四矩的两端，怎样产生两种不同的唯一性？

在任务三的输入上再给 $m_3=1/4$ 。求第四矩 $s$ 的全部范围与两个唯一达到者。特别检查上端点的Hankel矩阵是否奇异。最后将随机量改写为 $X=2+3Y$ ，把支撑搬到 $[2,5]$ ，重新写出四阶区间和探针。

完整答案

两个偶数阶矩阵为

H_2=\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1/3&1/4\\1/3&1/4&s\end{pmatrix}, \qquad K_1=\begin{pmatrix}1/6&1/12\\1/12&1/4-s\end{pmatrix}.

对Hankel矩阵，前两阶块的逆为 $\bigl(\begin{smallmatrix}4&-6\\-6&12\end{smallmatrix}\bigr)$ ，乘交叉列 $(1/3,1/4)^{\mathsf T}$ 得 $(-1/6,1)^{\mathsf T}$ ，最后配方余量为 $s-7/36$ 。对局部化矩阵，以首元 $1/6$ 配方，余量为 $1/4-s-(1/12)^2/(1/6)=5/24-s$ 。因此

7/36\le s\le5/24.

两端对应

L\bigl((x^2-x+1/6)^2\bigr)=s-7/36, \qquad L\bigl(x(1-x)(x-1/2)^2\bigr)=5/24-s.

下端只有两个支撑点 $x_\pm=1/2\pm\sqrt3/6$ ，权重各一半。检查根时， $q(1/5)>0,q(1/4)<0$ ，且 $q(3/4)<0,q(4/5)>0$ ；两个不相交区间各有一根，二次次数保证没有遗漏。由每个根满足 $x^2=x-1/6$ ，两点平均的矩满足递推

m_{k+2}=m_{k+1}-m_k/6, \qquad m_0=1,\quad m_1=1/2.

逐步得到 $m_2=1/3,m_3=1/4,m_4=7/36$ ，全是准确有理数。下端的唯一性由零平方矩值给出。

上端则只能支撑在 $0,1/2,1$ 。前三矩解出

\mu_+=\tfrac16\delta_0+\tfrac23\delta_{1/2}+\tfrac16\delta_1.

直接核三阶为 $\tfrac23(1/2)^3+1/6=1/4$ ，四阶为 $\tfrac23(1/2)^4+1/6=5/24$ 。最后Hankel余量为 $1/72>0$ ，所以 $H_2$ 仍正定；奇异的是 $K_1$ ，其核方向对应 $x-1/2$ 。唯一性由端点加中点的局部化零集合给出，不依赖实Hankel平坦。

两端测度的凸组合覆盖全部可行 $s$ 。均匀概率的 $s=1/5$ 是内部值；例如用上端权重 $\lambda=2/5$ 、下端权重 $3/5$ 的有限测度也匹配到四阶，所以这次连续与有限代表确实分享整张输入表。

平移缩放时，把支撑和矩一起改

令 $X=2+3Y$ 。二项式展开给

E[X]=7/2,\qquad E[X^2]=13,\qquad E[X^3]=203/4, \qquad E[X^4]=190+81s.

因此四阶完整范围变为

\boxed{823/4\le E[X^4]\le1655/8}.

下端节点是 $7/2\pm\sqrt3/2$ 、权重各一半；上端节点是 $2,7/2,5$ ，权重仍为 $1/6,2/3,1/6$ 。相应证书变为

\begin{aligned} L\bigl((x^2-7x+23/2)^2\bigr)&=m_4-823/4,\\ L\bigl((x-2)(5-x)(x-7/2)^2\bigr)&=1655/8-m_4. \end{aligned}

两探针都是原探针经过换元后乘正数 $81$ 。继续使用 $x(1-x)$ 会在新支撑的大部分区域为负，已经不再是正确的局部化因子。

运行与交付检查

python3 foundations-interval-moment-check.py --output interval-normal.json
python3 -O foundations-interval-moment-check.py --output interval-optimized.json
cmp interval-normal.json interval-optimized.json

输出路径必须显式给出。检查采用显式异常，优化模式不会悄悄删除验证；重复调用也会重置计数。验证内容包括全部小型对称矩阵的PSD与主子式交叉核对、零主元负方向、多个区间和次数的Gram恒等式、正原子矩的局部化积分、全部终点和退化输入。

交付时应写清：区间与最高已知阶数；平方或Gram的完整系数；负点或负矩值；达到者及全部矩核对；唯一性究竟来自哪个零探针。一般存在性由正文证明，有限程序没有把参数扫描冒充一般定理，也没有凭正定Hankel就略过支撑限制。

区间证书：非负多项式与未知高阶矩 ​

任务一：找出全部合法参数，再交一份达到的最小值 ​

完整答案 ​

任务二：两张看起来正常的表，分别错在哪里？ ​

完整答案 ​

任务三：从前三矩求下一矩的完整区间 ​

完整答案 ​

任务四：第四矩的两端，怎样产生两种不同的唯一性？ ​

完整答案 ​

平移缩放时，把支撑和矩一起改 ​

运行与交付检查 ​

区间证书：非负多项式与未知高阶矩

任务一：找出全部合法参数，再交一份达到的最小值

完整答案

任务二：两张看起来正常的表，分别错在哪里？

完整答案

任务三：从前三矩求下一矩的完整区间

完整答案

任务四：第四矩的两端，怎样产生两种不同的唯一性？

完整答案

平移缩放时，把支撑和矩一起改

运行与交付检查