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给出有限证书，说明无限解没有遗漏 ​

本单元的终点不是报出一个很大的整数解。交付应同时回答：基本解为什么最小，负号方程是否有解，以及换成一般右端后需要多少条种子轨道。下面各题用同一套整数状态与单位运算完成，最后换一个系数检验迁移。

任务一：不要把完整整数环单位当成整数Pell解 ​

给定 $D=13$，现有数域资料中的基本单位为

求整数坐标方程 $x^2-13y^2=1$ 与 $x^2-13y^2=-1$ 的基本正解，并说明为什么不能直接报告 $\theta$ 或 ${\theta }^2$。

解答。 周期状态理路二次无理数的周期连分数Periodic continued fractions of quadratic irrationals · Lagrange periodic continued fraction theorem · 二次无理数的 Lagrange 周期定理以有界整数状态证明二次无理数的连分数最终周期，并为平方根建立无小数误差的周期计算与准确停止规则。依次为

三元组依次记 $(P,Q,a)$。最后一项为 $(a_0,1,2a_0)$，再走一步回到第一项；此前状态互异，所以最小周期长度为五。

按零起始索引，第一轮末端给 $p_4/q_4=18/5$，第二轮给 $p_9/q_9=649/180$。用精确范数恒等式理路Pell 方程的基本解与全部整数解Pell equation · Pell–Fermat equation · Pell方程由周期连分数求正Pell基本解，证明足够精确的有理逼近必为收敛分数，再以范数一单位的缩减证明所有整数解来自基本解的幂。，再直接平方检查：

任何正的±1解必须在收敛分数中，且这是各自第一次出现，所以最小性已有证明，并非只靠搜索到这两个答案。

完整整数环允许半整数坐标；本题的整数坐标环是其子阶。$\theta$ 的范数为负一，而 ${\theta }^2=(11+3\sqrt{13})/2$ 虽范数为一，坐标仍非整数。真正对应本题的是

正Pell全部整数解为 $\pm {\epsilon }^k$；负Pell全部整数解理路负 Pell 方程与周期奇偶性Negative Pell equation · Negative Pell solvability criterion · 负Pell方程以平方根连分数的周期长度奇偶性完整判定负Pell可解性，证明全部解的奇次幂结构，并用D=34区分模同余条件与整数方程。为 $\pm {\eta }^{2k+1}$，$k\in \mathbb{Z}$。

任务二：一份有限的无解证书 ​

已知 ${13}^2\equiv -1(\mathrm{mod}34)$。这是否说明 $x^2-34y^2=-1$ 可解？请给出能排除所有大坐标的证书。

解答。 模根只是必要同余。$\sqrt{34}$ 的整数状态为

它们首次闭合，最小周期长度为四。状态 $Q_j=1$ 只在四的倍数索引出现，而这些索引全为偶数；范数 $(-1{)}^j{Q}_j$ 因而不可能为负一。严格逼近判据又保证所有负Pell解必在这份循环产生的收敛分数中，所以已排除所有整数解。

同一周期给正Pell基本解 $(35,6)$，因为 ${35}^2-34\cdot 6^2=1$。这里“负号无解”与“正号有无限多解”同时成立，没有冲突。

任务三：完整分类右端四的解 ​

仍取 $D=13$，现在解 $x^2-13y^2=4$。有人只从 $(2,0)$ 开始乘 $\epsilon$。指出遗漏，列出无重复的全部轨道，并判断 $(1298,360)$ 是否应加入种子。

解答。 半开范数缩减理路广义 Pell 方程的有限范数轨道Generalized Pell norm orbits · Finite orbit reduction of generalized Pell equations · 广义Pell方程的有限种子用整数范数一单位把固定非零右端的广义Pell解缩减到半开基本区间，证明有限且不重复的种子搜索界，并完整列出D=13、N=4的三条轨道。要求种子落在

它等价于 $0\le Y<360$，并检查 $X^2=13Y^2+4$。这360个整数候选中只有

因此全部解恰为

每条正实值轨道在同一个半开区间只取一个代表，故三条互不重复。从第一个种子出发会漏掉后两条。

$(1298,360)$ 对应 $2\epsilon$，恰在排除的右端点；它属于第一条轨道的指数一，不能再列成新种子。对于 $(11,-3)$，有

因此它归入第三个种子、指数负一。这也提醒我们，共轭不必只改变同一族的指数。

任务四：换一个右端符号，零坐标也要保留 ​

求解 $x^2-2y^2=-2$，并将 $(140,99)$ 还原到一枚种子。再判断 $x^2-2y^2=3$ 是否可解。

解答。 $\sqrt{2}=[1;\bar{2}]$，正Pell基本单位为 ${\epsilon }_2=3+2\sqrt{2}$。对右端 $-2$，负范数搜索界为 $2Y^2<3^2\cdot 2$，只须 $Y=1,2$。$2Y^2-2$ 分别为零、六，唯一种子是 $(X,Y)=(0,1)$。所以

不能要求种子的 $X$ 严格为正，否则会错判无解。将输入反复乘 $3-2\sqrt{2}$，得到

三次整数逆矩阵缩减表明 $140+99\sqrt{2}=\sqrt{2}{\epsilon }_2^3$。四组坐标的范数都为负二，可逐次核对。

对于右端三，改用正范数界 $Y^2<2^2\cdot 3=12$，只须 $Y=0,1,2,3$。$2Y^2+3$ 依次为 $3,5,11,21$，均非平方，因而没有种子，也没有任何整数解。

复算与交付 ​

下载标准库证书程序和预期结果。运行：

python foundations-pell-orbit-certificates.py --output actual-results.json

程序只用整数运算；区分完整整数环单位的六个幂时另用精确分数。它验证 $D\le 500$ 的478个非平方正输入、7758条收敛分数范数恒等式，并拒绝六类损坏周期证书。对600个一般范数模型，完整列举305枚种子，核对4270次生成后缩减与1844个独立小坐标解的归属。

小坐标穷举用于发现程序差错，不代替正文的最小性和完整性证明。程序中平方根周期的整除状态与半开种子界，才使搜索有明确终点。它也没有把一般二次无理数的最终周期算法与这里的平方根特用停止规则混为同一个接口。

合格交付应包含原方程、整数坐标所在的环、最小周期证书、所用单位的范数、严格种子搜索界，以及每个解族的符号与指数范围。只附一张大数答案表，仍不足以说明没有遗漏。