极值数

$\mathrm{ex}(n,H)$ 是出现 $H$ 的锐利边数门槛：任意 $n$ 点图若有超过它的边，就一定含 $H$；在门槛处仍至少有一个图成功避开 $H$。这是一项最坏情形保证，不代表随机图在该边数附近才首次出现 $H$，随机阈值与确定性极值阈值可能相差很大。

函数只记录边数，主动丢弃了极值图的形状。精确值相同并不说明取等构造唯一；渐近式 $\mathrm{ex}(n,H)=(c+o(1))n^2$ 更不会自动给出低阶项。研究中常依次追问主阶、误差项、精确值、取等者与近取等者，每向后一步都需要额外结构信息。

若 $H=K_2$，任何一条边本身就是禁图，故 $\mathrm{ex}(n,K_2)=0$。若 $H=P_3$ 是三顶点两边路径，则 $P_3$-free 图的每个非孤立连通分量只能是一条边：一个度至少为 $2$ 的顶点会立即给出 $P_3$。因此

由尽可能多的不交边达到。这一例子可以直接检查 $n=5$：两条不交边加一个孤立点给出 $2$ 条边，任何第 $3$ 条边都会与已有边共享端点或连接两个分量，从而产生一条三点路径。

禁止三角形时，$\mathrm{ex}(5,K_3)=6$；达到它的是部大小为 $2,3$ 的完全二分图。这里 $6$ 是最大边数，不是三角形数，也不是所有无三角形图的数量。若把“包含”改成诱导包含，$K_5$ 反而不含诱导 $P_3$，上述 $P_3$ 公式立即失效。

极值数与Ramsey 数公理库Ramsey 数Ramsey number · 拉姆齐数 · R(s,t)保证任意红蓝完全图边染色出现指定大小单色团所需的最小宿主顶点数。都是不可避免性阈值，却沿不同坐标优化：前者固定顶点数，问最多可保留多少条边而不出现 $H$；后者固定所需的单色结构，问宿主完全图至少需要多少顶点。把 $\mathrm{ex}(n,H)$ 的边阈值误读成 $R(s,t)$ 的顶点阈值，会丢掉补图与染色所承担的第二种禁用条件。

Turán 定理公理库Turán 定理Turán's theorem · 图兰定理不含给定大团的有限简单图以均衡完全多部图为唯一的边数极大者。精确给出 $\mathrm{ex}(n,K_{r+1})$，Erdős–Stone 定理公理库Erdős–Stone 定理Erdős–Stone theorem · Erdős–Stone–Simonovits theorem · 厄多斯–斯通定理固定禁图的色数决定其极值数的二次主项，而不决定低阶误差与精确取等结构。则说明任意固定非二分禁图的二次主项只由色数决定。对 $K_{s,t}$ 这类二分禁图，极值密度为零，真正的问题转为求 $n^{2-1/s}$ 一类次二次尺度；Kővári–Sós–Turán 定理公理库Kővári–Sós–Turán 定理Kővári–Sós–Turán theorem · KST theorem · 科瓦里–索什–图兰定理通过共同邻域的凸性计数，为不含固定完全二分子图的图给出次二次边数上界。提供经典上界。

超饱和现象公理库极值图中的超饱和Supersaturation in extremal graphs · Erdős–Simonovits supersaturation theorem · 超饱和定理图的边密度固定超过禁图极值密度时，禁图副本数必从一个跃升到顶点数的正确幂次量级。需要明确“超过多少”。对固定 $H$ 与 $\epsilon >0$，若 $e(G)\ge \mathrm{ex}(n,H)+\epsilon n^2$，则在充分大的 $n$ 下有至少 $c(H,\epsilon )n^{v(H)}$ 个 $H$ 副本。这里是增加一个二次量级的边数，不能换成 $e(G)\ge (1+\epsilon )\mathrm{ex}(n,H)$：当禁图二分且极值数为次二次量级时，两者相差很大。极值数给出首次必然出现的门槛，副本数量的增长还要核对具体的超饱和尺度。