形式陈述

对集合 $A,B$$A,B$，定义

$$ A\subseteq B\iff \forall x\,(x\in A\Rightarrow x\in B). $$$$A\subseteq B⟺\mathrm{\forall }x(x\in A\Rightarrow x\in B).$$

若 $A\subseteq B$$A\subseteq B$ 且 $A\ne B$$A\ne B$，则称 $A$$A$ 是 $B$$B$ 的真子集，常记为 $A\subsetneq B$$A⊊B$。

直觉

子集比较两个集合；成员关系比较一个对象与一个集合。$A\subseteq B$$A\subseteq B$ 要求 $A$$A$ 中没有任何元素落在 $B$$B$ 之外。

例子与边界

$\{1,2\}\subseteq\{1,2,3\}$$\{1,2\}\subseteq \{1,2,3\}$，并且 $\varnothing\subseteq A$$\varnothing \subseteq A$ 对每个集合 $A$$A$ 都成立。要否定 $A\subseteq B$$A\subseteq B$，只需给出一个见证 $x\in A$$x\in A$ 且 $x\notin B$$x\notin B$；若干样本不能证明全称包含。

推论与应用

双包含是证明集合相等的标准方法。子集关系还定义幂集、拓扑、事件族、关系和偏序结构。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §2。
• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, §§1.3–1.4。