子集

$A\subseteq B$ 表示 $A$ 没有越出 $B$ 的成员边界。它允许二者相等，所以“子集”并不自带“更小”或“少一个”的含义。真包含 $A⊊B$ 才明确要求 $B$ 至少还有一个 $A$ 没有的元素。

成员关系与包含关系的量词层级不同。$x\in A$ 检查一个对象是否在 $A$ 里；$B\subseteq A$ 要检查 $B$ 的每个元素。把对象 $x$ 包成单元素集后，才有

这条等价式包含了一个真实的类型转换，不能据此把 $x$ 与 $\{x\}$ 当成同一对象。

权限系统给出一个结构化例子。若 $R_{\mathrm{view}}$ 是只读角色允许的操作集合，$R_{\mathrm{edit}}$ 还允许修改内容，那么

要验证这条包含，应检查每一种只读权限在编辑角色中仍被允许；要否定反向包含，只需指出“修改”属于 $R_{\mathrm{edit}}$ 却不属于 $R_{\mathrm{view}}$。正面证明承担全称义务，反例承担存在义务，两种证明不能用相同数量的样本替代。

嵌套集合尤其容易暴露类型错误。令

此时 $\{1\}\in A$，但 $\{1\}⊈A$，因为后一陈述要求 $1\in A$，而 $A$ 的元素是两个集合。另一方面，$\{\{1\}\}\subseteq A$ 成立。每多一层花括号，待检查的成员也随之改变。

空集是每个集合的子集，因为命题 $x\in \varnothing \Rightarrow x\in A$ 对所有 $x$ 都成立；只有当 $A\ne \varnothing$ 时，$\varnothing$ 才是其真子集。符号 $\subset$ 在不同文献中有时表示 $\subseteq$，有时表示 $⊊$，正式写作宜直接使用后两种无歧义记号。

双包含是证明集合相等的标准骨架：先从 $x\in A$ 推到 $x\in B$，再反向推理，最后由外延性公理库集合外延性公理Axiom of extensionality · Extensionality两个集合恰在拥有相同元素时相等。得到 $A=B$。否定包含则寻找

这样的单个见证。对长集合表达式，先决定证明目标是全称包含还是存在反例，往往比直接展开所有符号更清楚。

包含与集合运算公理库集合运算Set operations · Union, intersection, difference用逻辑条件逐元素定义并、交、差、补与对称差，并扩展到集合族。相互刻画：

若 $A\subseteq B$，并集和交集还保持这一方向，例如 $A\cup C\subseteq B\cup C$、$A\cap C\subseteq B\cap C$；相对差在第二个参数上反向，即 $C\setminus B\subseteq C\setminus A$。这些单调性规律来自成员条件中的逻辑蕴含。

幂集 $\mathcal{P}(X)$ 收集 $X$ 的全部子集，关系是笛卡尔积的子集，拓扑与 $\sigma$-代数则是满足闭包条件的子集族。包含在这些结构中承担“更精细”“允许更多”或“信息更多”等不同解释，但其形式含义始终是逐元素包含。