形式陈述

对线性映射 $T:V\to W$，定义 $\ker T=\{v:T(v)=0\}$ 与 $\mathrm{im}T=\{T(v):v\in V\}$。二者分别是 $V$、$W$ 的子空间；$T$ 单射当且仅当 $\ker T=\{0\}$，满射当且仅当 $\mathrm{im}T=W$。

直觉

核测量信息损失，像描述信息最终落到哪里。

例子与边界

投影 $(x,y)\mapsto x$ 的核是纵轴，像是全部 $\mathbb{R}$。非线性函数的零点集和取值范围未必是子空间；陪域也不等于像。

推论与应用

直接支撑秩–零化度、第一同构定理、正合列和线性方程。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), null spaces and ranges.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), kernel and range.