形式陈述

域是交换含幺环 $(F,+,\cdot)$$(F,+,\cdot )$，其中 $1\ne0$$1\ne 0$，且每个 $a\in F\setminus\{0\}$$a\in F\setminus \{0\}$ 都存在 $a^{-1}\in F$$a^{-1}\in F$ 使 $aa^{-1}=1$$a{a}^{-1}=1$。等价地，$(F\setminus\{0\},\cdot)$$(F\setminus \{0\},\cdot )$ 是阿贝尔群，而乘法对加法满足分配律。

直觉

域是可以进行四则运算的代数环境：加、减、乘总是封闭，除以非零元素也总有唯一结果。排除 $1=0$$1=0$ 避免所有元素坍缩为零。

例子与边界

$\mathbb Q$$\mathbb{Q}$、$\mathbb R$$\mathbb{R}$、$\mathbb C$$\mathbb{C}$ 都是域。对素数 $p$$p$，$\mathbb Z/p\mathbb Z$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是有限域；若 $n$$n$ 合数，则 $\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 含零因子而不是域。$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 是整环但不是域，因为例如 $2$$2$ 在整数中没有乘法逆元。

推论与应用

域上的线性方程可使用高斯消元，向量空间中的标量可自由除以非零数。域还支撑多项式因式分解、有限域编码、密码学和 Galois 理论。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §7.1 and Chapter 13.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, §3.2 and Chapter 15.