域的特征

特征记录反复加 $1$ 的结果。在特征 $0$ 的域中，$0,1,1+1,\dots$ 始终互不相同，取分数后便得到一份有理数域。在特征 $p$ 的域中，这个过程像模 $p$ 的钟面：走满 $p$ 步回到 $0$，整数只留下 $p$ 种不同的值。

正特征必须是素数，原因在于域没有零因子。若最小正周期 $n=ab$ 是合数，且 $1<a,b<n$，则 $(a\cdot 1)(b\cdot 1)=0$。两个因子中必有一个为零，于是更少的步数已经回到 $0$，与最小性矛盾。

$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 的特征都是 $0$；${\mathbb{F}}_p$ 与一切 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 的特征是 $p$。有理函数域 ${\mathbb{F}}_p(t)$ 也是特征 $p$，但它有无限多个元素，例如互不相同的 $1,t,t^2,\dots$。特征描述单位元的加法周期，域的大小则计数全部元素。

一般的环理路环Ring带加法阿贝尔群和相容乘法的代数结构。可以有合数特征。例如 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 的特征为 $6$，其中 $2\cdot 3=0$ 而两个因子都非零。上面的素数结论适用于没有零因子的非零交换环，即整环理路整环Integral domain含单位元 1≠0、无零因子的交换环。。

特征 $p$ 下有 $(a+b{)}^p=a^p+b^p$，因为中间的二项式系数理路二项式系数Binomial coefficientn 元集合的 k 元子集数，记作 C(n,k)。 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})$ 都被 $p$ 整除。因此 Frobenius 映射 $x\mapsto x^p$ 保持加法和乘法；其核只有 $0$，所以单射。有限域上的单射必为满射，Frobenius 在这里就是自同构。

在无限域 ${\mathbb{F}}_p(t)$ 中，Frobenius 的像缺少 $t$。若有非零多项式 $f,g$ 满足 $(f/g{)}^p=t$，则 $f^p=t{g}^p$，比较次数得到 $p\mathrm{deg}f=1+p\mathrm{deg}g$，矛盾。在特征 $p$ 下，Frobenius 满射等价于域完美；它决定了该域上的代数扩张是否全部可分理路可分扩张Separable extension · 可分域扩张扩张中每个代数元的最小多项式都没有重根，从而保留足够多的不同共轭嵌入。。

特征直接改变多项式求导。在特征 $p$ 中，$(x^p-t{)}^{\prime }=0$；加入一个根 $\alpha$ 后，$x^p-t=(x-\alpha {)}^p$，这个根重复 $p$ 次。特征 $0$ 的不可约多项式则总有互异的根，因此不可分扩张只出现在正特征中。

对有限扩张 ${\mathbb{F}}_{p^n}/{\mathbb{F}}_p$，Frobenius 迭代 $n$ 次成为恒等映射，并生成阶为 $n$ 的 Galois 群。特征在表示论中还决定平均化能否进行：Maschke 定理理路Maschke 定理Maschke's theorem当域特征不整除有限群阶时，每个有限维表示都完全可约。的证明需要除以有限群的阶 $|G|$，所以要求 $|G|\cdot 1_F\ne 0$，即特征为 $0$ 或不整除 $|G|$。

特征决定循环添根方程的形状 ​

若特征不整除 $n$，且基域包含本原 $n$ 次单位根，Kummer 方程理路Kummer 扩张与幂类证书Cyclic Kummer extensions · Kummer power classes · 循环 Kummer 扩张在基域含本原单位根时，以参数幂类的阶认证添根次数，以循环子群和生成元转换认证两个添根域相同。 $X^n-a$（$a\ne 0$）的根由乘单位根相互转换，得到可分的循环扩张，其准确次数仍须由参数幂类计算。若特征为 $p$，$X^p-a$ 的根会重合；Artin–Schreier 方程理路Artin–Schreier 扩张与极点约化Artin-Schreier cyclic extensions · Artin–Schreier classes and pole reduction · 阿廷–施赖尔扩张用正特征加法类认证循环添根和同域转换，在素域有理函数的单极点输入上给出终止约化、唯一规范剩余及不可约证明。 $X^p-X-a$ 的导数却为 $-1$，其根由加素域常数相互转换。例如在 ${\mathbb{F}}_p$ 内 $x^p-x$ 恒为零，但添入 $X^p-X-1$ 的根会产生一个可分 $p$ 次循环扩张。这显示同一特征下可分与不可分添根都存在，不能仅凭次数被特征整除作判断。