形式陈述

域 $F$$F$ 的特征由唯一环同态 $\eta:\mathbb Z\to F$$\eta :\mathbb{Z}\to F$、$n\mapsto n\cdot1_F$$n\mapsto n\cdot 1_F$ 的核决定。若 $\ker\eta=(0)$$\ker \eta =(0)$，定义 $\operatorname{char}F=0$$\mathrm{char}F=0$；否则核为 $(p)$$(p)$，其中 $p$$p$ 必为素数，并定义 $\operatorname{char}F=p$$\mathrm{char}F=p$。因此域的特征只能是 $0$$0$ 或素数。$\eta$$\eta$ 的像生成最小子域：特征 $0$$0$ 时同构于 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$，特征 $p$$p$ 时同构于有限域 $\mathbb F_p$${\mathbb{F}}_p$，称为素子域。特征 $p$$p$ 中二项式系数被 $p$$p$ 整除，故 $(a+b)^p=a^p+b^p$$(a+b{)}^p=a^p+b^p$。

直觉

特征测量单位元反复相加何时第一次回到零；它决定域内部最基本的整数算术是普通有理数型还是模素数型。

例子与边界

$\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 的特征为 $0$$0$；$\mathbb F_{p^n}$${\mathbb{F}}_{p^n}$ 的特征为 $p$$p$。不存在特征 $6$$6$ 的域：若 $6\cdot1=0$$6\cdot 1=0$，则 $(2\cdot1)(3\cdot1)=0$$(2\cdot 1)(3\cdot 1)=0$，域无零因子迫使更小正整数已为零。一般环的特征可以是合数，例如 $\mathbb Z/6\mathbb Z$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$，所以“只可能为素数”依赖域或整环假设。特征不是域的元素个数；无限域也可有正特征，如 $\mathbb F_p(t)$${\mathbb{F}}_p(t)$。等式 $(a+b)^p=a^p+b^p$$(a+b{)}^p=a^p+b^p$ 只在特征 $p$$p$ 下成立，不能据此断言 Frobenius 总是满射。

推论与应用

特征决定有限域结构、表示论中的 Maschke 条件、可分性和 Frobenius 映射，是域扩张分类的首要分支。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 13, characteristic and prime subfields。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 13, fields and characteristic。