自然数模型

自然数不是由十进制写法定义，而是由起点 $0$、后继操作和归纳原则刻画；归纳原则保证结构里没有凭空多出的元素。集合公理库集合Set由成员完全决定的数学对象；成员关系给出集合的内容，额外结构须另行指定。论中的 von Neumann 实现取 $n=\{0,\dots ,n-1\}$，使 $m<n$ 等价于 $m\in n$，但这种编码只是一个具体模型。自然数的本质是相应的递归与归纳结构，而不是元素在集合论中恰好如何包装。

递归原理可以从零和后继定义加法：

这两式不是一张等待逐项补完的表，而是唯一确定函数 $+:N\times N\to N$ 的规则。归纳原理承担另一项工作：证明递归定义的运算具有整体性质。例如对 $m$ 归纳，基例给出 $0+n=n=n+0$；若已有 $m+n=n+m$，结合后继与加法的递归规则即可推出 $S(m)+n=n+S(m)$。因此递归用于定义对象，归纳用于证明所有自然数都满足性质，二者不能互换。

在 von Neumann 模型中 $1=\{0\}$、$2=\{0,1\}$，因而 $m<n$ 可表示为 $m\in n$。这使次序和有限基数容易编码，却不改变上面由零、后继、递归和归纳刻画的结构。

递归的唯一性依赖自然数由 $0$ 和后继良基生成。若把同样的规则放在整数全体上而不给额外边界条件，负方向通常无法唯一确定。负整数和分数不在这个系统内；是否把 $0$ 记入 $\mathbb{N}$ 则只是符号约定，形式工作必须明确。

集合论中常取 $0=\varnothing$、$S(n)=n\cup \{n\}$。这种 von Neumann 实现把 $n$ 同时做成所有更小自然数的集合，方便定义次序和有限基数；它是自然数结构的一种编码，不是“自然数必须由集合制成”的概念定义。

一阶 Peano 算术公理库皮亚诺算术Peano arithmetic · PA用一阶语言公理化自然数的零、后继、加法、乘法与归纳模式的形式理论。不能量化所有子集，只能为每个一阶公式给出一条归纳公理，因此会出现非标准模型。标准模型在完整二阶归纳下的范畴性，不能直接转写成一阶理论的唯一模型结论。

在更抽象的语言中，自然数对象可看作 $1+(-)$ 的初始代数；这把递归的存在唯一性写成到任意同类代数的唯一态射。理解这一表述需要先掌握始对象公理库始对象与终对象Initial object · Terminal object分别向每个对象有唯一箭头、或从每个对象接收唯一箭头的泛对象。与相应代数结构，本页的 Peano 公理和递归原则并不依赖这套范畴语言。

数学归纳法公理库数学归纳法Mathematical induction · Weak induction由基例和从 n 到 n+1 的归纳步推出性质对全部自然数成立。提供日常证明接口，超限递归公理库超限递归定理Transfinite recursion theorem允许用所有较早阶段的值唯一地定义序数长度函数的递归定理。则把递归思想推广到序数。两者都是从本页继续前进的方向，不改变自然数模型的最低结构。