形式陈述

一个二阶 Peano 型自然数系统可表示为 $(N,0,S)$$(N,0,S)$，其中 $0\in N$$0\in N$、$S:N\to N$$S:N\to N$，并满足：$0$$0$ 不在 $S$$S$ 的像中；$S$$S$ 为单射；对每个子集 $X\subseteq N$$X\subseteq N$，若 $X$$X$ 含 $0$$0$ 且对 $S$$S$ 封闭，则 $X=N$$X=N$。在完整二阶语义下，这些条件把自然数结构刻画到同构意义上的唯一性。集合论中常取 von Neumann 模型 $0=\varnothing$$0=\varnothing$、$S(n)=n\cup\{n\}$$S(n)=n\cup \{n\}$。一阶 Peano 算术把“对每个子集”替换为一阶公式的归纳公理模式，因此存在非标准模型，不能与本页的范畴性刻画混同。

直觉

自然数不是只靠十进制符号定义，而是由起点、后继和归纳结构刻画。不同具体模型只要满足相同结构公理，就表达同一种离散计数结构。

例子与边界

von Neumann 模型中 $1=\{0\}$$1=\{0\}$、$2=\{0,1\}$$2=\{0,1\}$，因而 $m<n$$m<n$ 可表示为 $m\in n$$m\in n$。负整数和分数不在自然数系统内；是否把 $0$$0$ 计入 $\mathbb N$$\mathbb{N}$ 是记号约定，形式工作必须明确。

推论与应用

自然数支撑有限序列、递归定义、算法步数和归纳法。加法与乘法可递归定义，有限集也可用与初始自然数段的双射刻画。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §§11–13。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Mathematical Induction chapter。