Sylow 定理

Sylow 定理把有限群阶中的最大 $p$-幂部分强制实现为子群，并严格限制这类子群的数量。存在性保证有足够大的 $p$-局部结构，共轭性说明所有最大 $p$-子群本质相同，计数条件则常迫使其中一个唯一，从而正规。

阶为 $15=3\cdot 5$ 的群有 $n_5\mid 3$ 且 $n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5)$，故 $n_5=1$，存在正规阶 $5$ 子群。对 $S_3$，Sylow $3$-子群唯一，Sylow $2$-子群有三个。存在一个阶为 $p^k$ 的子群并不使它自动成为 Sylow 子群，除非 $k=a$。第三定理给的是必要条件，不保证每个满足同余与整除的数都能实际出现。唯一性推出正规性是因共轭类只有一个元素；“某个 Sylow 子群阿贝尔”也不推出其在全群中正规。

交错群 $A_4$ 的阶为 $12=2^2\cdot 3$，它把 Sylow 计数的两个可能值同时实现出来。三个双换位连同单位元组成 Klein 四元群 $V_4$，这是唯一的 Sylow $2$-子群，所以 $n_2=1$；八个 $3$-循环两两组成四个阶 $3$ 子群，所以 $n_3=4$。这与

完全一致。数值约束本身只列出候选，群的实际结构决定采用哪一个候选；一旦某类 Sylow 子群唯一，它才由唯一性立即成为正规子群。

Lagrange 定理公理库拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。给出子群阶的必要限制，Sylow 定理对素幂部分给出强得多的存在与共轭结论；这里“彼此共轭”的对象语言由共轭类公理库共轭类Conjugacy class群中元素在内自同构下形成的轨道，刻画改变群内坐标后保持不变的元素类型。统一。它通过群作用和类方程公理库类方程Class equation of a finite group将有限群按共轭类分拆，以中心大小与中心化子指数表达群的阶。迫使正规子群存在、排除群阶结构，并用于分类小阶群、研究单群与构造正规列。