形式陈述

设有限群 $G$$G$ 的阶为 $|G|=p^a m$$|G|=p^{a}m$，其中 $p$$p$ 为素数且 $p\nmid m$$p\nmid m$。阶为 $p^a$$p^a$ 的子群称为 Sylow $p$$p$-子群。Sylow 三定理断言：

1. $G$$G$ 至少有一个 Sylow $p$$p$-子群；
2. 每个 $p$$p$-子群都包含于某个 Sylow $p$$p$-子群，且所有 Sylow $p$$p$-子群彼此共轭；
3. 其数量 $n_p$$n_p$ 满足 $n_p\equiv1\pmod p$$n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 且 $n_p\mid m$$n_p\mid m$。 特别地，$n_p=1$$n_p=1$ 当且仅当该 Sylow 子群正规。定理只处理有限群，并依赖群阶的素因子分解。

直觉

群阶中最大的 $p$$p$-幂必在群内部形成完整的 $p$$p$-子群；这些最大块虽可能有多个，但群的内部对称会把它们互相搬动，数量又受强同余约束。

例子与边界

阶为 $15=3\cdot5$$15=3\cdot 5$ 的群有 $n_5\mid3$$n_5\mid 3$ 且 $n_5\equiv1\pmod5$$n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5)$，故 $n_5=1$$n_5=1$，存在正规阶 $5$$5$ 子群。对 $S_3$$S_3$，Sylow $3$$3$-子群唯一，Sylow $2$$2$-子群有三个。存在一个阶为 $p^k$$p^k$ 的子群并不使它自动成为 Sylow 子群，除非 $k=a$$k=a$。第三定理给的是必要条件，不保证每个满足同余与整除的数都能实际出现。唯一性推出正规性是因共轭类只有一个元素；“某个 Sylow 子群阿贝尔”也不推出其在全群中正规。

推论与应用

Sylow 定理是有限群分类的首要工具：通过迫使正规子群存在、限制群作用和排除可能的群阶结构，可分析小阶群、单群和半直积分解。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 4, Sylow theorems and finite-group applications。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 4, p-subgroups and Sylow theory。