公理与理论库定理

拉格朗日定理

Lagrange's theorem

有限群中任意子群的阶整除原群的阶。

形式陈述

若 $G$ $G$ 是有限群且 $H\le G$ $H \leq G$ ，则左陪集把 $G$ $G$ 分割成等势于 $H$ $H$ 的不交块，因此

$$ |G|=[G:H]\,|H|. $$

| G | = [G : H] | H | .

特别地，$|H|$ $| H |$ 整除 $|G|$ $| G |$ 。

直觉

用 $H$ $H$ 的每个左陪集平铺整个群；每块大小相同，所以总体大小必是块大小的整数倍。

例子与边界

阶为素数 $p$ $p$ 的群只能有阶 $1$ $1$ 和 $p$ $p$ 的子群，因而必为循环群。定理的逆命题一般不成立：整除 $|G|$ $| G |$ 的每个数未必都是某个子群的阶。

推论与应用

任意元素的阶整除群的阶，进而得到费马小定理和欧拉定理的群论证明。

参考资料

David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §3.2.
Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 10th ed., Chapter 7.