拉格朗日定理

Lagrange 定理把群的可逆性变成算术约束。因为每次平移都有逆，子群的每个平移副本都保持原大小；因为“相差一个子群元素”是等价关系，这些副本又不会部分重叠。有限群因此只能被等大的陪集整齐切分，子群规模不可能任意取值。

定理并没有分类子群，也没有告诉我们某个因数对应哪个子群。它只给出必要条件：候选阶必须是 $|G|$ 的因数。把必要条件误当成存在性结论，是使用这一定理最常见的逻辑跳步。

这套论证真正依赖的是群中平移可逆。对一般有限幺半群，左乘可能把多个元素压到一起，不再是双射，因而不会自动得到同样的整齐分块。

在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 的加法群中取 $H=⟨\overline{4}⟩=\{\overline{0},\overline{4},\overline{8}\}$。四个陪集

各有三个元素并铺满全群，所以 $12=4\cdot 3$。这里指数 $4$ 记录陪集数，子群阶 $3$ 记录每块大小，二者角色不可互换。

若 $|G|=p$ 为素数，任取 $g\ne e$。其生成子群公理库生成子群Generated subgroup · Subgroup generated by a set包含指定元素集的最小子群，也就是生成元及其逆元的一切有限乘积。 $⟨g⟩$ 的阶至少为 $2$，又整除 $p$，只能等于 $p$；所以每个素数阶群都循环。更一般地，元素 $g$ 的阶是 $|⟨g⟩|$，因此总整除 $|G|$。

逆命题失败。$12$ 阶群 $A_4$ 没有 $6$ 阶子群：若有这样的子群，它的指数为 $2$，因而正规；但 $A_4$ 的共轭类大小为 $1,3,4,4$，正规子群必须是含单位元的共轭类之并，没有一种并法得到大小 $6$。所以“$d\mid |G|$”不能推出存在 $d$ 阶子群。

Cauchy 定理补足素数阶的存在性：若素数 $p$ 整除 $|G|$，则 $G$ 含 $p$ 阶元素。Sylow 定理进一步处理最高素数幂阶子群。它们都比 Lagrange 定理强，不能从单纯的整除等式中直接推出。

对无限群，陪集分划和每个陪集与 $H$ 等势仍成立，但“整数整除”失去适用对象。例如 $\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中的指数无限；这时应讨论基数或指数本身，有限阶公式不能直接解释为普通整数乘法。

若 $g\in G$ 且 $G$ 有限，设 $|g|=d$。由 $d\mid |G|$，

在乘法群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ 中，这给出 Fermat 小定理 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$；在 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ 中则给出 Euler 定理 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$。两者的前提都是相应剩余类可逆，若 $a$ 与模数不互素就不能直接放入单位群。

指数也满足乘法公式。若 $K\le H\le G$ 且三个指数有限，则

可以把 $H$ 的陪集进一步按 $K$ 的陪集细分来证明。这个公式是子群链计数、轨道—稳定子定理和有限群结构论中的基础账本。

当 $H$ 正规时，$[G:H]=|G/H|$，于是 Lagrange 计数转化为商群的阶。后续同构定理会把同态的核、像和商群放入同一等式；有限群中常见的 $|G|=|\ker \phi ||\mathrm{im}\phi |$ 正是这一结构的直接结果。