生成子群

形式陈述 ​

设 $G$ 是群，$S\subseteq G$。由 $S$ 生成的子群定义为所有包含 $S$ 的子群之交：

$$⟨S⟩=\bigcap \{H\le G:S\subseteq H\}.$$

这个交族至少含有 $G$，所以定义总有意义；子群之交仍为子群，因此 $⟨S⟩\le G$。它满足刻画性的最小条件：$S\subseteq ⟨S⟩$，而任何包含 $S$ 的子群 $H$ 都包含 $⟨S⟩$。

同一个对象也可以直接构造为

$$⟨S⟩=\{s_1^{{\epsilon }_1}\cdots s_k^{{\epsilon }_k}:k\ge 0,s_i\in S,{\epsilon }_i\in \{1,-1\}\}.$$

$k=0$ 时的空乘积约定为单位元 $e$。右侧含 $S$，并且对乘法与取逆封闭；反过来，任何包含 $S$ 的子群都必须包含这些有限乘积，所以两种定义相同。若存在有限集 $S$ 使 $G=⟨S⟩$，则称 $G$ 有限生成；若 $G=⟨g⟩$，则称它为循环群公理库循环群Cyclic group由单个元素的整数次幂生成的群。。

直觉 ​

生成不是随意补充元素，而是从 $S$ 出发，只加入群公理强迫出现的内容。既然子群必须能组合元素，也必须能撤销组合，就必须允许生成元及其逆元反复相乘；除此之外不加入任何元素。交集定义强调“最小”，有限乘积定义则展示如何实际得到其中的元素，两者分别给出外部刻画与内部构造。

生成元描述的不是群中一套固有坐标。同一个群往往有许多不同生成集，其中一些还含有冗余元素；删去某个生成元后是否仍生成全群，是关于该生成集的问题，不是关于群元素数量的简单计数。

例子与边界 ​

在加法群 $(\mathbb{Z},+)$ 中，

$$⟨2,3⟩=\{2m+3n:m,n\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z},$$

因为 $1=3-2$。这里负系数不可省略：若只允许非负系数，得到的集合不含 $-1$，因而不是子群。更一般地，$⟨a,b⟩=gcd(a,b)\mathbb{Z}$。

在置换群 $S_3$ 中，令 $\sigma =(12)$、$\tau =(123)$。六个元素都可以由 $\sigma ,\tau$ 的有限乘积得到，所以 $S_3=⟨\sigma ,\tau ⟩$。这也说明生成集不必唯一：三个对换中的任意两个不同对换同样生成 $S_3$。

两个子群的并通常不是子群。在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 的加法群中，$⟨2⟩=\{0,2,4\}$、$⟨3⟩=\{0,3\}$；它们的并含 $2$ 与 $3$，却不含 $2+3=5$。真正同时包含两者的最小子群是 $⟨2,3⟩=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。此外，$⟨\varnothing ⟩=\{e\}$ 而不是空集，因为每个子群都必须含单位元。生成子群也不等于正规闭包：前者只强制群运算封闭，后者还强制在共轭下封闭。

推论与应用 ​

若 $S\subseteq T\subseteq G$，最小性立即给出 $⟨S⟩\le ⟨T⟩$；并且 $⟨⟨S⟩⟩=⟨S⟩$。群同态 $\phi :G\to K$ 与生成相容：

$$\phi (⟨S⟩)=⟨\phi (S)⟩.$$

因此，要证明两个群同态在整个有限生成群上相同，只需检查它们在一组生成元上的值。群表示公理库群的呈示Group presentation用生成元集合和关系集合给出群的商结构描述。进一步给生成元附加关系，用较短的数据描述群；自由群公理库自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。则先保留生成元的一切约化词，再通过关系取商。交换子子群公理库交换子群Commutator subgroup · Derived subgroup由全部交换子生成的正规子群，度量群偏离交换性的程度。也是典型实例：它由所有交换子生成，而不是仅由交换子集合本身构成。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §§2.1, 2.4.
• Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4th ed., Chapter 1.