生成子群

生成是一个“只补必需项”的闭包过程。把 $S$ 放进子群后，群公理强迫我们加入单位元、每个生成元的逆元以及任意有限乘积；最小性保证除此之外没有擅自加入元素。交集定义从外部说明它是所有可行子群中最小的一个，词描述则从内部说明元素怎样实际造出来。

生成集不是一套唯一坐标。不同词可能表示同一群元素，生成元也可能冗余；群的关系正记录这些重合。例如在 $S_3$ 中，$\sigma =(12)$ 与 $\tau =(123)$ 满足 ${\sigma }^2={\tau }^3=e$ 和 $\sigma \tau \sigma ={\tau }^{-1}$。词很多，群却只有六个元素，因为这些关系不断把不同词识别为同一元素。

“由 $S$ 生成”只要求对群运算封闭，不要求对全群共轭封闭。若要得到包含 $S$ 的最小正规子群，必须取正规闭包；把两者混同，会在构造商群时漏掉必要的共轭元素。

在加法群 $\mathbb{Z}$ 中，

等式最后一步来自 Bézout 恒等式。以 $⟨2,3⟩$ 为例，$1=3-2$，所以这两个元素生成整个 $\mathbb{Z}$。负系数不可省略：只允许非负线性组合会失去逆元，得到的通常只是加法幺半群。

正三角形的一个翻折 $\sigma =(12)$ 与一个 ${120}^{\circ }$ 旋转 $\tau =(123)$ 生成全部 $S_3$。任何三角形对称要么是 ${\tau }^i$，要么是 $\sigma {\tau }^i$，其中 $i=0,1,2$；由此既列出六个元素，又得到“旋转或翻折后旋转”的几何正常形。

两个子群的并通常不是子群。在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中，$⟨\overline{2}⟩=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$ 与 $⟨\overline{3}⟩=\{\overline{0},\overline{3}\}$ 的并不含 $\overline{2}+\overline{3}=\overline{5}$；同时容纳两者的最小子群却是 $⟨\overline{2},\overline{3}⟩=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。这正是“并集”和“由并集生成”之间的差别。

空生成集也有确定答案：

空乘积提供单位元，而任何子群都必须包含它。若把结果写成空集，就已经违反群公理。

生成算子具有闭包的三条基本性质：

它还与群同态公理库群同态Group homomorphism · Homomorphism保持群运算的映射，核记录被消去的信息，像记录实际保留下来的结构。相容。对 $\phi :G\to K$，

左边是包含 $\phi (S)$ 的子群，故包含右边；右边的每个词又是某个 $S$-词的像，故反向包含也成立。因此两个同态若在一组生成元上相等，就在整个群上相等。

群的呈示公理库群的呈示Group presentation用生成元集合和关系集合给出群的商结构描述。在生成元之外再指定关系，把“所有词”商去那些应当相等的词；自由群公理库自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。则先保留生成元上的约化词，不附加额外关系。交换子子群、正规闭包和有限生成阿贝尔群的结构理论，都以这种“先给种子，再取合适闭包”的方法组织对象。