生成子群 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $G$ 是群， $S\subseteq G$ 。由 $S$ 生成的子群定义为

\langle S\rangle = \bigcap\{H\le G:S\subseteq H\}.

候选族至少包含 $G$ ，所以这个交集总有意义；子群的任意交仍是子群，因此 $\langle S\rangle\le G$ 。它满足决定性的最小性质：

S\subseteq\langle S\rangle, \qquad S\subseteq H\le G\Longrightarrow\langle S\rangle\le H.

同一个对象还可从内部写成“词”的集合：

\langle S\rangle = \left\{ s_1^{\varepsilon_1}\cdots s_k^{\varepsilon_k}: k\ge0,\ s_i\in S,\ \varepsilon_i\in\{1,-1\} \right\}.

$k=0$ 表示空乘积 $e$ 。右侧含 $S$ ，相乘仍是这类有限词，取逆时只需反转顺序并改变指数符号，所以它是子群；另一方面，任何包含 $S$ 的子群都必须包含所有这样的词。这个双向包含证明了交集定义与显式构造相同。

若 $S=\{s_1,\ldots,s_r\}$ ，常写 $\langle s_1,\ldots,s_r\rangle$ 。存在有限生成集的群称为有限生成群；能由一个元素生成的群称为循环群。这里“有限生成”不等于“群有限”： $\mathbb Z=\langle1\rangle$ 只有一个生成元，却有无限多个元素。

直觉

生成是把指定元素扩充为子群的闭包过程。给定 $S$ 后，加入单位元、生成元的逆元以及任意有限乘积，就得到 $\langle S\rangle$ 。交集定义从外部说明它是所有包含 $S$ 的子群中最小的一个，词描述则从内部说明元素怎样实际造出来。

生成集不是一套唯一坐标。不同词可能表示同一群元素，生成元也可能冗余；群的关系正记录这些重合。例如在 $S_3$ 中， $\sigma=(12)$ 与 $\tau=(123)$ 满足 $\sigma^2=\tau^3=e$ 和 $\sigma\tau\sigma=\tau^{-1}$ 。词很多，群却只有六个元素，因为这些关系不断把不同词识别为同一元素。

生成子群与正规闭包对应两种闭包要求。例如 $\langle(12)\rangle=\{e,(12)\}$ 是 $S_3$ 的子群；再加入 $(12)$ 在 $S_3$ 中的全部共轭元素，就会加入另外两个换位。这三个换位生成整个 $S_3$ ，所以 $(12)$ 的正规闭包是 $S_3$ 。

例子与边界

在加法群 $\mathbb Z$ 中，

\langle a_1,\ldots,a_r\rangle = \{n_1a_1+\cdots+n_ra_r:n_i\in\mathbb Z\} = \gcd(a_1,\ldots,a_r)\mathbb Z.

这里取 $r\ge1$ ，并约定所有 $a_i$ 都为 $0$ 时最大公因数为 $0$ 。最后一步来自 Bézout 恒等式。以 $\langle2,3\rangle$ 为例， $1=3-2$ ，所以这两个元素生成整个 $\mathbb Z$ 。允许负系数正对应于允许取逆元；若只取非负系数， $2$ 和 $3$ 的组合连 $1$ 都得不到。

正三角形的一个翻折 $\sigma=(12)$ 与一个 $120^\circ$ 旋转 $\tau=(123)$ 生成全部 $S_3$ 。任何三角形对称要么是 $\tau^i$ ，要么是 $\sigma\tau^i$ ，其中 $i=0,1,2$ 。按右侧先作用的约定，后者是先旋转再翻折；这两种形式恰好列出六个对称变换。

两个子群的并通常不是子群。在 $\mathbb Z/6\mathbb Z$ 中， $\langle\bar2\rangle=\{\bar0,\bar2,\bar4\}$ 与 $\langle\bar3\rangle=\{\bar0,\bar3\}$ 的并不含 $\bar2+\bar3=\bar5$ ；同时容纳两者的最小子群却是 $\langle\bar2,\bar3\rangle=\mathbb Z/6\mathbb Z$ 。这正是“并集”和“由并集生成”之间的差别。

空生成集也有确定答案：

\langle\varnothing\rangle=\{e\}.

空乘积提供单位元，而任何子群都包含它，所以 $\{e\}$ 正是这里的最小子群。

推论与应用

生成算子具有闭包的三条基本性质：

S\subseteq\langle S\rangle,\qquad S\subseteq T\Longrightarrow\langle S\rangle\le\langle T\rangle,\qquad \langle\langle S\rangle\rangle=\langle S\rangle.

它还与群同态相容。对 $\varphi:G\to K$ ，

\varphi(\langle S\rangle)=\langle\varphi(S)\rangle.

左边是包含 $\varphi(S)$ 的子群，故包含右边。反过来，左边每个元素都是某个 $S$ -词的像；同态保持乘法和逆元，因而这个像也是一个 $\varphi(S)$ -词，属于右边。因此两个同态若在一组生成元上相等，就在整个群上相等。

生成元也给出从自由群 $F(S)$ 到 $\langle S\rangle$ 的满同态：把形式上的生成元送到 $G$ 中对应的元素，再逐词求值。这个同态的核恰好收集所有在 $G$ 中求值为单位元的词。群的呈示通过指定关系来描述这个核，于是把群写成“自由词的群除以关系生成的正规子群”。

参考资料

David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §§2.1, 2.4.
Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4th ed., Springer, 1995, Chapter 1.

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