自由群

形式陈述 ​

给定集合 $S$，为每个 $s\in S$ 引入形式逆元 $s^{-1}$。字母表 $S\bigsqcup S^{-1}$ 上的有限词称为约化词，若它不含相邻片段 $s{s}^{-1}$ 或 $s^{-1}s$。任意词通过反复删除这类相邻对得到唯一约化形式。全体约化词以“先拼接、再约化”为乘法，空词为单位元，反转字母次序并逐个取逆为逆元，构成自由群 $F(S)$。

构造的本质由泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。刻画：对任意群公理库群Group具有结合运算、单位元和每个元素逆元的集合。 $G$ 与任意集合函数 $u:S\to G$，存在唯一群同态 $\tilde{u}:F(S)\to G$ 使 $\tilde{u}(s)=u(s)$。具体地，$\tilde{u}$ 把词中的字母替换为相应群元素并相乘。若 $S=\varnothing$，只有空词，故 $F(S)$ 是平凡群。

直觉 ​

“自由”不是元素可以随意违反群公理，而是除了群公理强制的约消外不声明任何额外等式。生成元先像字母一样组成路径，只有紧邻的往返步 $s{s}^{-1}$ 才消失；要让两个本来不同的约化词相等，就必须另行加入关系并取商。泛性质说明这种构造与所选词模型无关：它是让集合映射自动、且唯一地升级为群同态的最少约束群。

例子与边界 ​

单生成元自由群 $F(\{a\})$ 的每个约化词都唯一形如 $a^n$（$n\in \mathbb{Z}$），映射 $a^n\mapsto n$ 给出 $F(\{a\})\cong \mathbb{Z}$。但在两生成元自由群 $F(\{a,b\})$ 中，交换子 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ 已经约化，因而不是单位元；自由群没有暗中加入 $ab=ba$。

群元素不是未约化字符串。例如 $ab{b}^{-1}{a}^{-1}$ 与空词代表同一元素，必须先约化后比较。自由交换群也不是自由群的别名：它还强制所有生成元交换；在两个生成元时为 ${\mathbb{Z}}^2$，可由 $F(\{a,b\})$ 商去交换子群得到。最后，任意集合函数 $S\to G$ 本身不是群同态，因为 $S$ 尚无群结构；只有经过泛性质得到的延拓才是同态。

推论与应用 ​

群的呈示公理库群的呈示Group presentation用生成元集合和关系集合给出群的商结构描述。从 $F(S)$ 出发，把关系词生成的正规闭包商掉，精确表达“自由生成，再加入关系”；生成子群公理库生成子群Generated subgroup · Subgroup generated by a set包含给定元素集合的最小子群，也就是这些元素及其逆元的一切有限乘积。则说明给定元素集在一个既有群中强制闭包后得到什么。自由群还是基本群公理库基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。的基本模型：图的回路和 Seifert–van Kampen 定理经常产出自由生成元。范畴论中，$S\mapsto F(S)$ 是遗忘函子从群到集合的左伴随；取交换化则连接交换子群公理库交换子群Commutator subgroup · Derived subgroup由全部交换子生成的正规子群，度量群偏离交换性的程度。与自由交换群。

参考资料

• Derek J. S. Robinson, Oxford algebra lecture material on free groups and universal mapping properties.
• Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp, Combinatorial Group Theory, Springer, 1977, Ch. I, free groups and reduced words.
• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, Ch. 6, free groups and presentations.