自由群

把生成元看成一种步子，$s^{-1}$ 表示沿同一路径退回。相邻的往返步可以消去，其余步子按原次序保留。例如对两个不同的生成元 $a,b$，$ab$ 与 $ba$ 记录不同的行走次序，在自由群中是不同元素。

“自由”体现在生成元的像可以独立选取。只要决定每个 $s$ 在目标群中对应哪个元素，逆字母的像就由逆元确定，长词的像就由乘法确定。约消 $s{s}^{-1}$ 在目标群中也对应乘积 $u(s)u(s{)}^{-1}=e$，所以求值与约化相容；全部生成元的像又决定了每个词的像，因此延拓唯一。

单生成元自由群 $F(\{a\})$ 的每个约化词都唯一形如 $a^n$（$n\in \mathbb{Z}$），映射 $a^n\mapsto n$ 给出 $F(\{a\})\cong \mathbb{Z}$。在两生成元自由群 $F(\{a,b\})$ 中，交换子 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ 已经约化且非空，因而不是单位元，所以这个群非交换。

约化可以用一个栈理路栈Stack · LIFO stack以栈顶为唯一更新端、按后进先出规则组织元素的抽象数据类型；接口语义与具体表示的成本分别规定。从左向右完成：读到一个字母时，若它与栈顶互逆，就弹出栈顶；否则把它压入。读完后，栈内的字母就是约化词。例如 $ab{b}^{-1}{a}^{-1}$ 先消去 $b{b}^{-1}$，再消去 $a{a}^{-1}$，最后得到空词。删除输入中的任意相邻逆字母对都不改变栈的最终结果，因此不同删除顺序会得到相同的约化形式。

取 $a\mapsto (12)$、$b\mapsto (123)$，泛性质给出同态 $F(\{a,b\})\to S_3$。它把 $ab{a}^{-1}$ 送到 $(132)$，把非空约化词 $a^2$ 送到单位元。后一个等式来自目标群中换位的二阶关系，说明求值同态可以把不同自由词识别起来。

若在 $F(\{a,b\})$ 中加入 $ab=ba$，每个词都能整理为 $a^m{b}^n$，得到自由阿贝尔群 ${\mathbb{Z}}^2$。对应同态记录两个字母各自的指数和，其核是交换子群理路交换子群Commutator subgroup · Derived subgroup由全部交换子生成的正规子群，度量群偏离交换性的程度。。

给定群 $G$ 内的一组元素 $S$，逐词求值得到满同态 $F(S)\to ⟨S⟩$，目标正是生成子群理路生成子群Generated subgroup · Subgroup generated by a set包含指定元素集的最小子群，也就是生成元及其逆元的一切有限乘积。。它的核收集所有在 $G$ 中求值为单位元的关系。群的呈示理路群的呈示Group presentation用生成元集合和关系集合给出群的商结构描述。通过指定这些关系的正规生成集，把已有群写成自由群的商。

自由群也描述图中的回路。例如两个圆在一个点相接形成“8”字空间，选公共点为基点，绕两个圆分别给出生成元 $a,b$。回路拼接对应词的拼接，沿同一圆立即走回则对应约消，其基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。为 $F(\{a,b\})$。

在范畴论中，泛性质写成自然双射 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grp}}(F(S),G)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(S,U(G))$，其中 $U(G)$ 是 $G$ 的底层集合。这正是自由群函子与遗忘函子之间的伴随关系。

自由群的子群仍然自由，但基元未必是原字母的一个子集。Nielsen–Schreier定理理路Nielsen–Schreier 定理与自由基重写Nielsen–Schreier theorem · Nielsen-Schreier theorem · Schreier index formula用Schreier图生成树构造任意自由群子群的自由基，建立可逆的读词重写证明，并在有限指数时推出秩公式及完整三层算例。用陪集覆叠图的一棵生成树，构造“树路去程、非树边、树路返回”的嵌入基词，再以互逆重写证明没有隐藏关系。有限指数时得到秩公式；无限指数既可能保持有限秩，也可能出现无限自由基。