自由幺半群

自由幺半群只施加结合律与空字单位元，不额外宣布任何两个不同单词相等。因而单词本身就是生成元序列，拼接完整记录构造历史；给每个字母指定一个幺半群元素后，整个单词的解释只能按次序相乘并被唯一确定。

若 $X=\{a,b\}$，则 $ab$ 与 $ba$ 是不同元素，说明自由幺半群通常不交换；$\epsilon a=a\epsilon =a$。若 $X=\varnothing$，则 $X^{\ast }=\{\epsilon \}$ 是平凡幺半群。自由半群通常只取非空串 $X^{+}$，没有空串单位元。自由群公理库自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。还要加入形式逆元并约去 $x{x}^{-1}$，不能与 $X^{\ast }$ 混同。一个字母上的自由幺半群与 $(\mathbb{N},+)$ 同构，串长度对应自然数。在字母表 $X=\{0,1\}$ 上，映射

唯一延拓为从 $X^{\ast }$ 到 $({\mathbb{N}}^2,+)$ 的幺半群同态；一个字被送到“长度、其中 $1$ 的个数”。由于目标交换，$01$ 与 $10$ 在该同态下同像，但在自由幺半群中仍是不同的字。只有显式加入交换关系后才得到自由交换幺半群；“自由”表示除了幺半群公理外没有额外关系。

自由幺半群就是单词公理库字Word · String从某个有限位置集到字母表的函数，即有限符号序列。在字符串连接公理库字符串连接String concatenation把第二个字的符号接在第一个字之后形成的新字及相应结合运算。下的代数结构，是形式语言、自动机和字符串算法的底层对象。其泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。支撑语法解释、正则表达式语义和幺半群识别语言；加入形式逆元并作群公理强制的约消则导向自由群，再商去关系得到群的呈示公理库群的呈示Group presentation用生成元集合和关系集合给出群的商结构描述。。