自由幺半群

自由幺半群保留了字母出现的顺序和次数，只忘记连接时如何加括号。除了结合律和空串单位律，不再把不同的字强行认作同一元素。

因此只要给每个字母指定一种解释，就已经决定了每个词的解释。泛性质中的“存在”表示任意字母赋值都能合法延拓，“唯一”表示词没有额外可自由选择的解释；这两个条件共同刻画了“由字母自由生成”。

摘要会丢信息，原词不会 ​

对 $X=\{0,1\}$，把 $0$ 送到 $(1,0)$、$1$ 送到 $(1,1)$，目标取加法幺半群 ${\mathbb{N}}^2$，其中自然数包含零。唯一延拓把词送到“长度、其中 1 的个数”，例如

将 $10110$ 分为 $10$ 与 $110$，摘要为 $(2,1)+(3,2)=(5,3)$，体现同态的连接规则。$01$ 与 $10$ 都映到 $(2,1)$，但在 $X^{\ast }$ 内仍不同：原词保存顺序，这个计数摘要只保存长度和出现次数。

空字、一个生成元和逆元 ​

若 $X=\varnothing$，仍有 $X^{\ast }=\{\epsilon \}$。若 $X=\{a\}$，每个词唯一写成 $a^n$，映射 $a^n\mapsto n$ 给出 $X^{\ast }\cong (\mathbb{N},+,0)$。一旦有两个不同字母 $a,b$，就有 $ab\ne ba$，自由幺半群因而不交换。自由交换幺半群则把所有字母重排认作同一元素，只保留各字母的出现次数。

在非空字母表上，非空串构成自由半群 $X^{+}$；加入空串作为单位元，便得到 $X^{\ast }$。若字母表为空，$X^{+}$ 也为空，因此不属于要求底集非空的半群定义。

在 $X^{\ast }$ 内，长度满足 $|uv|=|u|+|v|$。要使 $uv=\epsilon$，两个长度都只能为零，所以只有空串可逆。构造自由群理路自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。时，会另加逆字母，并允许把相邻的 $x{x}^{-1}$ 约去；这种约消提供了自由幺半群中原本没有的逆元。

当 $X$ 是本库自动机语境中的有限非空字母表时，字理路字Word · String从某个有限位置集到字母表的函数，即有限符号序列。与字符串连接理路字符串连接String concatenation把第二个字的符号接在第一个字之后形成的新字及相应结合运算。正好给出这个自由幺半群。对空集或无限集合 $X$，使用字条目中明确给出的“任意符号集合上的有限字”版本，连接仍按有限位置拼接。两种范围共享同一构造，有限长度不要求生成集合有限。解释语法、计算字符计数或摘要时，只需指定生成字母的像并检查目标是幺半群，就能利用唯一延拓而不必逐个定义所有词。

这种泛性质理路泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。还在同构意义下唯一确定对象：若 $F$ 与 $F^{\prime }$ 都满足它，两边各有一个保生成元的同态；复合与恒等映射在生成元上相同，由唯一性便互为逆。有限幺半群同态 $h:X^{\ast }\to M$ 也可用于识别语言：选定 $P\subseteq M$，语言为 $h^{-1}(P)$。词的无限集合于是可以通过有限状态摘要判断归属。

从词出发加入逆元得到自由群，再把指定关系认作恒等式，便通向群的呈示理路群的呈示Group presentation用生成元集合和关系集合给出群的商结构描述。；自由对象与商关系分别负责生成和约束。