形式陈述

幺半群是三元组 $(M,\ast,e)$$(M,\ast ,e)$，其中 $(M,\ast)$$(M,\ast )$ 是半群，且 $e\in M$$e\in M$ 满足

$$ e\ast a=a\ast e=a $$$$e\ast a=a\ast e=a$$

对所有 $a\in M$$a\in M$ 成立。这样的双侧单位元必唯一：若 $e$$e$ 与 $e'$$e^{\prime }$ 都是单位元，则 $e=e\ast e'=e'$$e=e\ast e^{\prime }=e^{\prime }$。

直觉

幺半群是在可结合的组合系统中加入一个“什么也不做”的操作。它足以表达重复合成和空合成，但不要求每个操作都能撤销。

例子与边界

所有有限字符串在连接下构成幺半群，单位元是空串；$(\mathbb N,+)$$(\mathbb{N},+)$ 在包含 $0$$0$ 的约定下以 $0$$0$ 为单位元。正整数加法半群没有单位元。每个群都是幺半群，但自然数加法幺半群中除 $0$$0$ 外没有加法逆元。

推论与应用

幺半群是自由幺半群、矩阵乘法、函数复合以及程序状态变换的共同抽象。幺半群同态保持运算与单位元，使复杂对象可通过可组合摘要进行折叠和并行归约。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §1.1.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, §2.1.