Schur 分解 | Codeboy's Blog

形式陈述

对任意复方阵 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ ，存在酉矩阵 $Q$ 与上三角矩阵 $T$ ，使

Q^*AQ=T, \qquad\text{等价地}\qquad A=QTQ^*.

$T$ 的对角元恰是 $A$ 的特征值，按代数重数计；通过重排 Schur 形，可以在适当分离条件下把选定特征值簇放到对角线的指定连续位置。证明可从一个单位特征向量开始，把它补成正交规范基，在正交补上归纳；关键是每一步都使用保持 $2$ -范数的酉相似变换。

对实矩阵 $A\in\mathbb R^{n\times n}$ ，实 Schur 分解写成

Q^{\mathsf T}AQ=T,

其中 $Q$ 正交， $T$ 是准上三角矩阵：对角线上只有 $1\times1$ 块和 $2\times2$ 块。前者容纳实特征值，后者容纳一对复共轭特征值；坚持所有运算为实数时，不能把这些块强行拆成实的一维特征方向。

若 $A$ 正规，则 $T=Q^*AQ$ 也正规；正规上三角矩阵必为对角矩阵，因此 Schur 分解退化为谱定理的酉对角化。一般矩阵的 Schur 向量是 $Q$ 的列：前 $k$ 列张成与 $T$ 的领先 $k\times k$ 块对应的不变子空间，但除第一列以及已经隔离出的 $1\times1$ 块外，单个列向量通常不是特征向量。

浮点算法以 Schur 形而非 Jordan 形作为一般全谱目标。正交相似变换不放大 $2$ -范数，成熟 QR 实现通常返回

A+E=\widehat Q\widehat T\widehat Q^*, \qquad \|E\|_2\lesssim u\,\|A\|_2

量级的后向稳定结果，常数依矩阵规模与实现而定。这里稳定的是“邻近矩阵具有所算 Schur 形”这一关系；当特征值聚集时，具体 Schur 向量和块排序仍可能对扰动敏感。

直觉

对角化试图找到一组彼此独立的特征轴，一般矩阵却可能没有足够特征向量，或者特征向量基极度歪斜。Schur 分解退一步：只要求一组正交坐标把矩阵变成上三角。对角线交付全部特征值，上三角非对角部分保留方向之间尚未解耦的作用，而坐标变换始终保持长度与夹角。

这一步退让换来稳定性。Jordan 形要判断某些量究竟是精确零还是极小非零，微小扰动就可能改变块尺寸；Schur 形不试图做这项不连续判决，而是把全部耦合诚实保留在上三角部分。

例子与边界

剪切矩阵

A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

本身已经是复 Schur 形，可以取 $Q=I,T=A$ 。 $Q$ 的第一列 $e_1$ 是特征向量，第二列 $e_2$ 却不是，因为 $Ae_2=(1,1)^{\mathsf T}$ 。这直接反驳“Schur 向量逐列都是特征向量”，也表明上三角 $T$ 并不等于对角矩阵。

实旋转

R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

没有实特征向量，实 Schur 形只能保留这个 $2\times2$ 块；扩到复数后才可酉对角化为特征值 $i,-i$ 。实准上三角块不是算法未完成，而是对共轭复谱的正确实数表示。

近缺陷族

A_\varepsilon= \begin{pmatrix}1&1\\\varepsilon&1\end{pmatrix}

在 $\varepsilon=0$ 时有一个二阶 Jordan 块，任意 $\varepsilon>0$ 却有两个不同特征值 $1\pm\sqrt\varepsilon$ 。Jordan 结构发生跳变，Schur 分解仍通过正交变换给出上三角或准上三角表示。Schur 形也不唯一：特征值可重排，重特征值对应的不变子空间内还可更换正交基。

推论与应用

Jordan 标准形精确编码广义特征向量链，适合代数分类与矩阵函数公式；Schur 分解不提供 Jordan 块尺寸，却是一般浮点矩阵的稳定计算目标。二者回答不同问题，不能用“Schur 近似 Jordan”混成一条主线。

QR 特征值算法先把矩阵化为 Hessenberg 形，再通过隐式移位与 deflation 收敛到 Schur 形。得到 $Q,T$ 后，矩阵函数、稳定不变子空间和 Sylvester 方程可以直接利用三角或块三角结构，而无需构造病态特征向量矩阵。

参考资料

Lloyd N. Trefethen and David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, Lectures 24 and 25.
Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed., Cambridge University Press, 2013, Ch. 2.
LAPACK Users’ Guide, 3rd ed., SIAM, 1999, Schur Factorization.

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