Schur 分解

形式陈述 ​

对任意复方阵 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，存在酉矩阵 $Q$ 与上三角矩阵 $T$，使

$$Q^{\ast }AQ=T,\text{等价地}A=QT{Q}^{\ast }.$$

$T$ 的对角元恰是 $A$ 的特征值公理库特征值与特征向量Eigenvalue and eigenvector满足 Tv=λv 且 v 非零的标量 λ 与向量 v。，按代数重数计；通过重排 Schur 形，可以在适当分离条件下把选定特征值簇放到对角线的指定连续位置。证明可从一个单位特征向量开始，把它补成正交规范基公理库正交规范基Orthonormal basis由单位长度且两两正交的向量组成的基。，在正交补上归纳；关键是每一步都使用保持 $2$-范数的酉相似变换。

对实矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，实 Schur 分解写成

$$Q^{\mathsf{T}}AQ=T,$$

其中 $Q$ 正交，$T$ 是准上三角矩阵：对角线上只有 $1\times 1$ 块和 $2\times 2$ 块。前者容纳实特征值，后者容纳一对复共轭特征值；坚持所有运算为实数时，不能把这些块强行拆成实的一维特征方向。

若 $A$ 正规，则 $T=Q^{\ast }AQ$ 也正规；正规上三角矩阵必为对角矩阵，因此 Schur 分解退化为谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维实对称或复自伴算子存在正交规范特征向量基。的酉对角化。一般矩阵的 Schur 向量是 $Q$ 的列：前 $k$ 列张成与 $T$ 的领先 $k\times k$ 块对应的不变子空间，但除第一列以及已经隔离出的 $1\times 1$ 块外，单个列向量通常不是特征向量。

浮点算法以 Schur 形而非 Jordan 形作为一般全谱目标。正交相似变换不放大 $2$-范数，成熟 QR 实现通常返回

$$A+E=\hat{Q}\hat{T}{\hat{Q}}^{\ast },\Vert E{\Vert }_2\lesssim u\Vert A{\Vert }_2$$

量级的后向稳定结果，常数依矩阵规模与实现而定。这里稳定的是“邻近矩阵具有所算 Schur 形”这一关系；当特征值聚集时，具体 Schur 向量和块排序仍可能对扰动敏感。

直觉 ​

对角化试图找到一组彼此独立的特征轴，一般矩阵却可能没有足够特征向量，或者特征向量基极度歪斜。Schur 分解退一步：只要求一组正交坐标把矩阵变成上三角。对角线交付全部特征值，上三角非对角部分保留方向之间尚未解耦的作用，而坐标变换始终保持长度与夹角。

这一步退让换来稳定性。Jordan 形要判断某些量究竟是精确零还是极小非零，微小扰动就可能改变块尺寸；Schur 形不试图做这项不连续判决，而是把全部耦合诚实保留在上三角部分。

例子与边界 ​

剪切矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

本身已经是复 Schur 形，可以取 $Q=I,T=A$。$Q$ 的第一列 $e_1$ 是特征向量，第二列 $e_2$ 却不是，因为 $A{e}_2=(1,1{)}^{\mathsf{T}}$。这直接反驳“Schur 向量逐列都是特征向量”，也表明上三角 $T$ 并不等于对角矩阵。

实旋转

$$R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

没有实特征向量，实 Schur 形只能保留这个 $2\times 2$ 块；扩到复数后才可酉对角化为特征值 $i,-i$。实准上三角块不是算法未完成，而是对共轭复谱的正确实数表示。

近缺陷族

$$A_{\epsilon }=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \epsilon & 1\end{array}\right)$$

在 $\epsilon =0$ 时有一个二阶 Jordan 块，任意 $\epsilon >0$ 却有两个不同特征值 $1\pm \sqrt{\epsilon }$。Jordan 结构发生跳变，Schur 分解仍通过正交变换给出上三角或准上三角表示。Schur 形也不唯一：特征值可重排，重特征值对应的不变子空间内还可更换正交基。

推论与应用 ​

Jordan 标准形公理库Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。精确编码广义特征向量链，适合代数分类与矩阵函数公式；Schur 分解不提供 Jordan 块尺寸，却是一般浮点矩阵的稳定计算目标。二者回答不同问题，不能用“Schur 近似 Jordan”混成一条主线。

QR 特征值算法公理库QR 特征值算法QR algorithm · Shifted QR algorithm · Francis QR algorithm先化 Hessenberg 或三对角形，再用隐式移位 QR、bulge chasing 与 deflation 计算 Schur 形和全部特征值。先把矩阵化为 Hessenberg 形，再通过隐式移位与 deflation 收敛到 Schur 形。得到 $Q,T$ 后，矩阵函数、稳定不变子空间和 Sylvester 方程可以直接利用三角或块三角结构，而无需构造病态特征向量矩阵。

参考资料

• Lloyd N. Trefethen and David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, Lectures 24 and 25.
• Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed., Cambridge University Press, 2013, Ch. 2.
• LAPACK Users’ Guide, Schur Factorization.