线性映射

线性映射不会改变线性组合的规则：先组合再映射，与先映射再使用原来的系数完全一致。因此，一组基的像便唯一决定整个映射。选基之后这些像可以排列成矩阵；在选基之前，映射本身并不是一张固定数表。

线性总是相对于标量域而言。一个映射可以保持实数线性组合，却不保持复数线性组合；省略标量域会掩盖真正约束。线性条件还强制 $T(0)=0$，所以带非零平移的仿射映射不线性。

微分算子

是线性映射，因为 $(ap+bq{)}^{\prime }=a{p}^{\prime }+b{q}^{\prime }$。它直接作用在多项式上，不需要先把多项式换成坐标向量，因而清楚展示“线性映射”比“矩阵乘法”更本质。

求值也能形成线性映射。定义

它保持加法与标量乘法；若 $T(p)=0$，次数至多为 $2$ 的 $p$ 有三个不同零点，只能是零多项式，因此 $T$ 单射。定义域和陪域同为三维，故它还是同构，这正是三点插值的线性代数形式。

边界来自仿射与标量域两处。平移 $x\mapsto Ax+b$ 在 $b\ne 0$ 时不保持零向量，因此不是线性映射。复共轭 $z\mapsto \overline{z}$ 在实标量下线性，在复标量下却不线性，因为 $\overline{iz}=-i\overline{z}\ne i\overline{z}$。

核与像公理库线性映射的核与像Kernel and image · Null space and range分别记录被线性映射压到零的方向与实际能够到达的向量集合。分别描述哪些输入被压到零、哪些输出能够到达。线性映射单射当且仅当 $\ker T=\{0\}$，满射当且仅当 $\mathrm{im}T=W$；线性映射的和、标量倍与复合仍保持线性。

选择定义域和陪域的基后，矩阵公理库矩阵Matrix以有限行列集合为索引、取值于半环，并以中间指标求和定义乘法的函数。记录基向量的像。同一映射在不同基下得到不同矩阵，所以矩阵条目大小不是映射的固有属性。连续性、有界性、伴随与条件数还需要范数或内积结构，必须由后继页面另加假设。