形式陈述

设 $V,W$$V,W$ 为同一域 $F$$F$ 上的向量空间。映射 $T:V\to W$$T:V\to W$ 称为线性映射，若

$$ T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad T(av)=aT(v) $$$$T(u+v)=T(u)+T(v),T(av)=aT(v)$$

对所有 $u,v\in V$$u,v\in V$、$a\in F$$a\in F$ 成立。等价地，它保持任意有限线性组合：

$$ T\!\left(\sum_i a_iv_i\right)=\sum_i a_iT(v_i). $$$$T\left(\sum _i{a}_i{v}_i\right)=\sum _i{a}_{i}T(v_i).$$

核与像

$$ \ker T=\{v:T(v)=0\}, \qquad \operatorname{im}T=T(V) $$$$\ker T=\{v:T(v)=0\},\mathrm{im}T=T(V)$$

分别是 $V$$V$ 与 $W$$W$ 的子空间。

直觉

线性映射不会扭曲线性组合规则：先组合再映射，与先映射再用同样系数组合完全一致。因此只要知道基向量的像，就知道整个映射。

例子与边界

矩阵乘法 $x\mapsto Ax$$x\mapsto Ax$、微分算子 $p\mapsto p'$$p\mapsto p^{\prime }$ 都是线性映射。平移 $x\mapsto Ax+b$$x\mapsto Ax+b$ 在 $b\ne0$$b\ne 0$ 时是仿射映射而非线性映射，因为线性映射必须满足 $T(0)=0$$T(0)=0$。保持距离或角度也不是线性的定义。

推论与应用

线性映射把代数问题转为核、像和矩阵问题。单射等价于 $\ker T=\{0\}$$\ker T=\{0\}$；满射等价于 $\operatorname{im}T=W$$\mathrm{im}T=W$。复合、和与标量倍仍为线性映射，构成新的向量空间与范畴结构。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，§3A。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 4。