形式陈述

设 $F$$F$ 为域。$F$$F$ 上的向量空间是集合 $V$$V$，配有向量加法与标量乘法

$$ +:V\times V\to V, \qquad \cdot:F\times V\to V, $$$$+:V\times V\to V,\cdot :F\times V\to V,$$

使 $(V,+)$$(V,+)$ 为阿贝尔群，且对所有 $a,b\in F$$a,b\in F$、$u,v\in V$$u,v\in V$，

$$ a(u+v)=au+av, $$$$a(u+v)=au+av,$$$$ (a+b)v=av+bv, $$$$(a+b)v=av+bv,$$$$ (ab)v=a(bv), \qquad 1_Fv=v. $$$$(ab)v=a(bv),1_{F}v=v.$$

由公理可推出 $0_Fv=0_V$$0_{F}v=0_V$、$a0_V=0_V$$a{0}_V=0_V$ 与 $(-a)v=-(av)$$(-a)v=-(av)$。

直觉

向量空间抽取“可以相加、可以按标量缩放”的共同规则。向量不必是有方向的箭头；函数、多项式、矩阵和序列都可成为向量。

例子与边界

$F^n$$F^n$、多项式空间 $F[x]$$F[x]$、连续函数空间 $C([0,1],\mathbb R)$$C([0,1],\mathbb{R})$ 都是向量空间。$\mathbb R$$\mathbb{R}$ 可看作 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 上一维空间，也可看作 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 上无限维空间，说明标量域是结构的一部分。只允许非负标量的集合通常不是向量空间，因为缺少标量 $-1$$-1$ 的封闭性。

推论与应用

向量空间是线性组合、基、维数与线性映射的载体，并推广到无限维函数空间。加入范数、内积或拓扑得到更丰富结构，但这些并非向量空间公理自动提供。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，§1A。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 3。