向量空间

向量空间把可加的对象与来自域的缩放结合起来，域中每个非零标量可逆，使线性方程、基与维数拥有极整齐的理论。向量不必是箭头，可以是多项式、函数、矩阵或随机变量；真正共同的是线性组合规则。零向量与标量零必须区分，前者属于空间，后者属于域。

向量空间与仿射空间公理库仿射空间Affine space忘去原点但保留向量平移作用和仿射组合的空间。的分界在于原点。向量空间有指定零向量，点可相加并做标量乘法；仿射空间只允许取点之差和仿射组合，平移后的几何对象没有天然的“零点”。

次数小于 $d$ 的多项式集合

在逐系数加法和标量乘法下是向量空间。它的向量是多项式而非坐标箭头；选择基 $1,x,\dots ,x^{d-1}$ 后才把它们写成 $F^d$ 中的坐标。连续函数空间 $C([0,1],\mathbb{R})$ 同样说明“向量”可以是一个整体函数。

标量域是结构的一部分。同一个加法群 $\mathbb{R}$ 作为 $\mathbb{R}$ 上的向量空间维数为 $1$，作为 $\mathbb{Q}$ 上的向量空间却是无限维；所谓线性组合、基与维数都随允许的标量改变。

所有 $2\times 2$ 实对称矩阵构成向量空间

一组自然基为

所以 $\dim S=3$。与之相近的集合“迹等于 $1$ 的矩阵”却不是子空间，因为它不含零矩阵；全体奇异矩阵也不是子空间，因为两个奇异矩阵之和可能可逆，例如两个对角投影之和是单位矩阵。仅有一个自然参数化或几何外观并不足以成为向量空间，关键仍是对任意线性组合封闭。

子空间判定 ​

非空子集 $W\subseteq V$ 是线性子空间，当且仅当对任意 $u,v\in W$ 与 $a,b\in F$ 都有 $au+bv\in W$。这一条同时检查加法、数乘、零向量与负向量，不必把公理逐项重证。

对称矩阵集合满足这个判定，因为线性组合仍对称；“迹等于 $1$”不含零矩阵，第一步便失败。正实数在通常加法下也不是实向量空间：乘以标量 $-1$ 会离开集合。边界问题应落到具体封闭条件，而不是凭对象外观看起来是否像向量。

子空间公理库线性子空间Linear subspace · Vector subspace在原向量运算下封闭、因而自身构成向量空间的非空子集。、基公理库向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。和 线性映射公理库线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。构成线性代数主线。加入内积、范数或拓扑可得到更丰富的几何与分析结构；把标量域推广为一般环则得到模公理库模Module以含幺环元素作标量、以阿贝尔群作加法结构的代数对象。。

有限维计算还要选择基与坐标。坐标列表是向量相对于某个基的表示，换基会改变列表而不改变抽象向量；数值误差又属于表示和算法层，不能从向量空间公理本身推出。

在线性预测中，可以线性组合的是参数或实值 score，并不表示任意分类器集合都是向量空间：值域为 $\{-1,+1\}$ 的两个分类器相加后甚至不再是分类器。这个边界提醒我们，写成“向量参数”与“全部对象对线性组合封闭”是两件不同的事。