形式陈述

线性码校验矩阵 $H$$H$ 下，接收向量 $r=c+e$$r=c+e$ 的综合为 $s=Hr^T=He^T$$s=H{r}^T=H{e}^T$。具有同一综合的误差向量构成同一陪集；综合译码为每个综合选择一个低重量陪集首领 $\widehat e$$\hat{e}$，输出 $r-\widehat e$$r-\hat{e}$。若真实错误重量不超过唯一纠错半径，最小重量选择恢复原码字。

直觉

校验方程会消掉合法码字，只留下错误的“指纹”；译码器据此猜测最可能的误差模式。

例子与边界

无错误时综合为零，但零综合也可能对应非零码字差，因此只说明 $r\in C$$r\in C$。标准阵列可预存综合到陪集首领的映射，小码可查表，大码需利用结构算法。超过纠错半径时可能误纠而非只报错；概率最优首领还依赖信道模型。

推论与应用

综合译码用于线性分组码硬判决、硬件校验和故障诊断。

参考资料

• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, 1977，Chs. 1–10。
• Shu Lin and Daniel J. Costello Jr., Error Control Coding, 2nd ed., Pearson, 2004，Chs. 1–7。