综合译码

校验方程会消掉满足 $H{c}^T=0$ 的合法码字，只留下错误的“指纹”，所以综合 $s=H{r}^T$ 只依赖错误模式所在陪集，而与原码字无关。译码器据此为每个综合选择一个最可能或最小重量的陪集首领 $e$，再输出 $r-e$。这种压缩把长度 $n$ 的接收词错误诊断降为 $n-k$ 维校验信息，但一般码的最优综合译码本身可能计算困难。

无错误时综合为零，但零综合也可能对应非零码字差，因此只说明 $r\in C$。标准阵列可预存综合到陪集首领的映射，小码可查表，大码需利用结构算法。超过纠错半径时可能误纠而非只报错；概率最优首领还依赖信道模型。列表译码公理库列表译码List decoding允许每个接收词对应一个受控候选列表，从而在组合意义上越过唯一译码半径。会保留球内至多 $L$ 个码字，而基础综合译码为每个综合固定一个陪集首领，两者输出语义不同。

Hamming 码中校验矩阵每一列是不同非零 bit 向量。若只有第 $j$ 位翻转，综合恰等于第 $j$ 列，所以可立即定位并纠正；综合为零表示接收词是某个码字，但不能排除发生了一个非零码字形状的高重量错误。

同一综合对应整个陪集的多个错误，超出唯一纠错半径时选最小重量首领可能不是实际噪声。软判决信道还提供每位可靠度，纯综合硬判决会丢弃这些信息。

综合译码用于线性分组码硬判决、硬件校验和故障诊断。线性码公理库线性码Linear code有限域向量空间中的线性子空间作为码字集合的信道码。和奇偶校验矩阵给出综合，距离公理库Hamming 距离Hamming distance两个等长字在对应位置不同的坐标数。决定唯一纠错范围；若目标是越过该半径并返回完整候选集合，应使用列表译码模型，而不是让陪集首领“多猜几次”。Reed–Solomon 码公理库Reed–Solomon 码Reed–Solomon code以低次数多项式在互异域元素处的取值向量形成的最大距离可分码。与 BCH 码的代数综合、LDPC 的迭代校验更新和密码学中的 syndrome decoding 困难问题都从这一结构发展。