形式陈述

等长字 $x,y\in\Sigma^n$$x,y\in {\mathrm{\Sigma }}^n$ 的 Hamming 距离为 $d_H(x,y)=|\{i:x_i\ne y_i\}|$$d_H(x,y)=|\{i:x_i\ne y_i\}|$。它满足非负、同一性、对称性和三角不等式，因此是度量。在线性码中 $d_H(x,y)=\operatorname{wt}(x-y)$$d_H(x,y)=\mathrm{wt}(x-y)$，最小距离可由最小非零重量求得。

直觉

只数对应位置上有多少符号不同，不关心符号之间的数值差或插入删除。

例子与边界

10110 与 10001 在三个位置不同，距离为 3。不同长度字符串没有标准 Hamming 距离，编辑距离才允许插入和删除。半径 $t$$t$ 的 Hamming 球大小为 $\sum_{i=0}^t\binom ni(q-1)^i$$\sum _{i=0}^t(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(q-1{)}^i$。

推论与应用

Hamming 距离衡量码字可分性，也用于二进制相似性、容错存储和组合设计。

参考资料

• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, 1977，Chs. 1–10。
• Shu Lin and Daniel J. Costello Jr., Error Control Coding, 2nd ed., Pearson, 2004，Chs. 1–7。