度量空间

度量给“靠近”附上可比较的刻度。三角不等式约束这些刻度彼此协调：从 $x$ 经 $y$ 到 $z$ 的两段路，不能比 $x$ 到 $z$ 的直接距离还短。正定性则保证距离确实能识别点，而不是把若干点暗中视作同一个位置。

从开球生成拓扑是一项有意的遗忘操作。进入拓扑层后，人们仍能谈开闭、连续、紧致和连通，却不再知道两点相距多少。直径、Cauchy 性、完备性、全有界性以及 Lipschitz 常数依赖距离数值，不能从开集族独自恢复。

因此“两个度量等价”必须注明保留到哪一层。若它们生成相同开集，称拓扑等价；若存在 $c,C>0$ 使

对所有点成立，则称双 Lipschitz 等价。后一条件会保留 Cauchy 序列、完备性和全有界性，明显强于仅仅拥有同一拓扑。

Euclidean 空间使用

同一空间上的 ${\ell }^1$ 距离与上确界距离画出不同形状的球，但在有限维中都生成通常拓扑。范数之间的常数比较给出双 Lipschitz 等价；这比只凭图形相似作判断更可靠。

任意集合 $X$ 上的离散度量

使每个单点都是半径 $1/2$ 的开球，因此生成离散拓扑。赋予正边长的连通图，其最短路长度也给出度量；若图不连通，把不可达点的距离记为 $\mathrm{\infty }$，便超出了这里取有限实值的定义，必须逐连通分支处理或改用扩展度量。

函数空间 $C([0,1])$ 上的上确界度量

记录整条函数图像的最大垂直误差。它所定义的收敛是一致收敛，而逐点收敛来自另一种更弱的拓扑；“函数越来越接近”必须连同所选度量或拓扑一起陈述。

公式 $p(x,y)=|x^2-y^2|$ 在 $\mathbb{R}$ 上满足对称性和三角不等式，却有 $p(1,-1)=0$，所以只是伪度量。按 $x\sim y⟺p(x,y)=0$ 把零距离点识别后，

才在商集上成为真正度量。这里的商不是修辞性的“忽略符号”，而是正定性迫使我们改变点集。

若 $d$ 是度量，则

仍为度量，并与 $d$ 生成同一拓扑，却把整个空间压到直径不超过 $1$。这直接说明“有界”不是拓扑性质。

更细的边界由 $\mathbb{R}$ 上的 $\rho (x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ 给出。它生成通常拓扑，但序列 $n$ 对 $\rho$ 是 Cauchy 的且在 $\mathbb{R}$ 内没有极限，所以通常距离的完备性没有被同胚结构保留下来。

在度量空间中，

半径 $1/n$ 的球在每一点给出可数邻域基，所以度量空间第一可数公理库第一可数空间First-countable space每一点都有可数邻域基的拓扑空间。；序列因此足以检测闭包与连续性。不同点可取半径小于它们距离一半的互不相交开球，故每个度量空间又都是 Hausdorff 空间公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。。

分析中的定量条件沿同一距离继续加码。Lipschitz 连续公理库Lipschitz 连续Lipschitz continuity · Lipschitz condition用统一常数定量限制函数输出距离相对于输入距离的增长。给输出距离一个线性上界，Cauchy 条件只比较序列尾部内部的距离，完备性公理库完备度量空间Complete metric space每个 Cauchy 序列都在空间内部收敛的度量空间。则保证这些尾部不会指向空间外。它们都比拓扑连续携带更多信息。

紧致性在度量环境中还有一个精确分解：空间紧当且仅当它完备且全有界。全有界要求每个尺度 $\epsilon >0$ 都存在有限个半径 $\epsilon$ 的球覆盖空间；普通“有界”只控制一个全局直径，远不足以代替它。

构造新距离时，最短的可靠检查顺序是先找零距离点，再检验对称性，最后证明三角不等式。许多看似合理的相异度——例如平方距离 $|x-y{|}^2$——恰在最后一步失败，不能直接承接度量空间的收敛、完备或紧致结论。