形式陈述

度量空间是二元组 $(X,d)$$(X,d)$，其中 $d:X\times X\to[0,\infty)$$d:X\times X\to [0,\mathrm{\infty })$ 满足：$d(x,y)=0$$d(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y$$x=y$；$d(x,y)=d(y,x)$$d(x,y)=d(y,x)$；以及 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$。

直觉

度量把“两个点有多近”变成数值，从而可以谈球、收敛、连续和完备性，而不要求点位于普通欧氏空间。

例子与边界

$\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 的欧氏距离是度量；离散度量在不同点之间统一取 $1$$1$。若只满足 $d(x,y)=0$$d(x,y)=0$ 不必推出 $x=y$$x=y$，则得到伪度量而非度量。

推论与应用

度量诱导拓扑，并用于数值分析、函数空间、最近邻方法和误差估计。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., §20.
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., Chapter 2.