形式陈述

函数 $f:D\to \mathbb{R}$ 在 $a\in D$ 连续，当且仅当对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使 $x\in D$ 且 $|x-a|<\delta$ 时有 $|f(x)-f(a)|<\epsilon$。等价地，$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$。

直觉

连续性把极限值与函数实际值接上：在局部观察时，没有跳跃、断裂或无法控制的振荡。

例子与边界

多项式在整个实数轴连续；阶跃函数在跳点不连续。连续不等于可导，$f(x)=|x|$ 在 $0$ 连续但不可导。

推论与应用

闭区间上的连续函数取得最大最小值，并满足介值定理；数值求根和优化中的存在性保证由此而来。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., Chapter 4.
• Terence Tao, Analysis I, 3rd ed., Chapter 9.