连续性

真正的控制关系是：输出误差预算先由观察者给定，随后才能选择足够小的输入尺度。这个量词次序排除了“每次碰巧找得到一条好路径”的伪连续，也允许所需尺度随考察点改变。连续性保留局部邻近结构，却不提供统一变化率；同一函数可以连续而在不同位置变得任意陡峭。

多项式在整个实数轴连续；阶跃函数在跳点不连续。连续不等于可导，$f(x)=|x|$ 在 $0$ 连续但不可导。

函数

在 $0$ 连续，因为 $|f(x)|\le |x|$，尽管它在任意小邻域内不断振荡。相比之下，规定 $f(0)=1$ 会破坏连续性。只验证沿若干条预先选定的序列或方向趋近通常不够；在度量空间可用所有序列刻画，而一般拓扑空间还需更完整的邻域语言。

连续性把极限公理库极限Limit · Epsilon–delta limit用任意精度的邻近关系描述序列或函数趋向某个值。与函数运算兼容起来，并通过介值定理和极值存在性把局部控制转成全局结论。要求同一个尺度在全域有效会得到一致连续公理库一致连续Uniform continuity同一 δ 对定义域中所有点同时控制给定 ε。；把距离语言完全拿掉则得到拓扑连续性公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。。可微、积分参数依赖和数值迭代中的稳定性都以这些不同强度的连续控制为起点。

在数值求根中，连续性保证异号端点之间确有根可追踪，二分法公理库二分求根法Bisection method以端点异号区间为不变量，给出可验证误差界、对数成本和有限精度停止条件。据此维护包含根的异号区间；在紧可行域上的优化中，它又保证函数值不会只逼近最优值而始终取不到。连续被积函数也为数值求积公理库数值求积问题与求积公式Quadrature rule · Numerical integration将有限次函数采样组织为积分近似，并用代数精度、误差泛函和函数访问模型刻画规则能力。的逼近提供基础，但具体误差阶仍取决于光滑性与节点规则。这些存在与逼近结论都不承诺问题条件良好：平坦根或高度振荡的被积函数仍可能对扰动敏感。