一致连续

逐点连续允许测量设备在每个工作位置重新校准输入精度；一致连续则保证，给定一个输出误差要求，一次校准就能覆盖整个定义域。即使两个被比较的输入位置不断移动，同一个输入距离限制仍然有效。固定一个位置后自然也有效，所以一致连续蕴含连续。

紧度量空间理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。的紧致性可以把局部控制升级为整体控制。若紧度量空间上的连续函数不一致连续，就有 $d_X(x_n,y_n)\to 0$，但 $d_Y(f(x_n),f(y_n))\ge {\epsilon }_0$。取 $x_n$ 的收敛子列趋于 $x$，相应的 $y_n$ 子列也趋于 $x$；连续性使两列函数值都趋于 $f(x)$，与固定正间隔矛盾。这就是 Heine–Cantor 定理的证明机制。

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续但不一致连续。取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，则输入距离为 $1/n\to 0$，输出距离却为 $2+1/n^2\ge 2$。若限制在 $[-R,R]$（$R>0$），则 $|x^2-y^2|\le 2R|x-y|$，可统一取 $\delta =\epsilon /(2R)$。一致连续性因此是函数与定义域共同决定的性质。

靠近缺失边界也会失败：$f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上取 $x_n=1/(n+1)$、$y_n=1/(n+2)$，输入距离趋零，而输出距离恒为 $1$。另一方面，Lipschitz 条件 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ 直接给出一致连续；反向不成立，因为

允许取 $\delta ={\epsilon }^2$，但 $|\sqrt{x}-0|/|x-0|=1/\sqrt{x}$ 在 $x\downarrow 0$ 时无界。它还说明“导数无界”本身不是不一致连续的判据。

有界的函数也可能失败。对于 $f(x)=\sin \left(x^2\right)$，取

因为 $y_n-x_n=\pi /(y_n+x_n)\to 0$，而 $f(x_n)=1$、$f(y_n)=-1$，一致连续不成立。相比之下，$\sin x$ 的导数有界，故为 Lipschitz。上述反例共同使用序列判据：不一致连续恰好意味着存在固定 ${\epsilon }_0>0$ 和两列点，输入距离趋零而输出距离始终不小于 ${\epsilon }_0$。

在闭有界区间上，绝对连续性理路绝对连续函数Absolutely continuous function · Absolute continuity on an interval把有限组总长度很小的区间送到总振幅很小的函数类，并满足 Lebesgue 版微积分基本定理。通过控制有限组区间的总振幅蕴含一致连续；Cantor 函数一致连续却不绝对连续。这里比较的是同一区间上的性质，不能混用不同定义域。

连续性理路连续性Continuity · Continuous function函数在输入微小变化时输出可被控制为任意小变化的性质。是逐点条件，紧度量空间理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。上的连续函数由 Heine–Cantor 自动成为一致连续。它把Cauchy 序列理路柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。送到 Cauchy 序列：先由输出要求 $\epsilon$ 选统一的 $\delta$，再让原序列的尾部任意两项相距小于 $\delta$，像序列的尾部距离便都小于 $\epsilon$。逐点连续不能照搬这个证明，因为尾部各点可能需要不同的输入尺度。

更精确地，设 $D$ 稠密于度量空间 $X$，$Y$ 是完备度量空间理路完备度量空间Complete metric space每个 Cauchy 序列都在空间内部收敛的度量空间。。一致连续映射 $f:D\to Y$ 有唯一的连续延拓 $\overline{f}:X\to Y$，而且延拓仍一致连续。对缺失点选一列逼近它的原域点，像序列是 Cauchy 序列，因而有极限；把两条逼近序列交错合并，便能验证所得值不依赖选择。对两条逼近序列传递原来的统一距离控制，就得到延拓的一致连续性；稠密性与连续性则保证唯一。与度量空间理路度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。的完备化配合后，许多先在简单对象上定义的函数由此扩张到极限对象。

全区间误差界需要同一控制同时覆盖所有采样点，紧区间上的一致连续性因此为求积和式理路数值求积问题与求积公式Quadrature rule · Numerical integration将有限次函数采样组织为积分近似，并用代数精度、误差泛函和函数访问模型刻画规则能力。与多项式插值理路多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。的全区间论证提供统一尺度。它保证输入足够接近时函数值能被统一控制，却不提供显式模量或代数收敛阶，也不保证任意节点上的多项式插值收敛；更精细的结论仍要额外正则性与节点条件。

连续模理路连续模Modulus of continuity · 模连续性把输入分辨率转成全域振幅上界，并据此给采样、折线逼近与误差验证分配精度。把这种统一尺度记成函数 ${\omega }_f(h)$，量化间距至多 $h$ 的最大振幅。知道 ${\omega }_f(h)\le Lh$ 或 $H{h}^{\alpha }$ 后，就能为折线采样和全区间误差验证选择实际步长；只有一致连续性时，这个速率仍需另外确定。