一致连续

普通连续允许每个点使用自己的局部尺度；一致连续要求一把尺度同时适用于所有位置，因此能控制成对靠近的任意点，而不必先固定基点。它关注的是函数对全域微小扰动的最坏响应。定义域无界、靠近缺失边界或函数斜率无限增大，都是普通连续升级失败的常见原因。

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续但不一致连续，因为在远处相同的小输入差可产生任意大的输出差；它在每个有界闭区间上一致连续。$f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。Lipschitz 连续蕴含一致连续，但逆命题不成立，例如 $\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上一致连续却不是 Lipschitz。绝对连续性公理库绝对连续函数Absolutely continuous function · Absolute continuity on an interval把有限组总长度很小的区间送到总振幅很小的函数类，并满足 Lebesgue 版微积分基本定理。控制有限组区间的总振幅，严格强于一致连续；Cantor 函数给出一致连续但非绝对连续的边界。

函数 $f(x)=\sin \left(x^2\right)$ 在 $\mathbb{R}$ 连续但不一致连续：取

则 $|x_n-y_n|\to 0$，而函数值相差 $2$。相比之下，$\sin x$ 的导数有界，故为 Lipschitz，从而一致连续。闭区间上的连续函数不需显式导数界，也由紧致性得到一致连续。

连续性公理库连续性Continuity · Continuous function函数在输入微小变化时输出可被控制为任意小变化的性质。是逐点条件，紧空间公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。上的连续函数由 Heine–Cantor 自动成为一致连续。它把Cauchy 序列公理库柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。送到 Cauchy 序列，并在目标完备时允许从稠密子集唯一延拓。与度量空间公理库度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。的完备化配合后，许多先在简单对象上定义的函数可安全扩张到极限对象。

全区间误差界需要同一控制同时覆盖所有采样点，紧区间上的一致连续性因此为求积和式公理库数值求积问题与求积公式Quadrature rule · Numerical integration将有限次函数采样组织为积分近似，并用代数精度、误差泛函和函数访问模型刻画规则能力。与多项式插值公理库多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。的全区间论证提供统一尺度。它保证输入足够接近时函数值能被统一控制，却不提供显式模量或代数收敛阶，也不保证任意节点上的多项式插值收敛；更精细的结论仍要额外正则性与节点条件。