形式陈述

设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$$(X,d_X),(Y,d_Y)$ 为度量空间。函数 $f:X\to Y$$f:X\to Y$ 一致连续，若

$$ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x,x'\in X, \quad d_X(x,x')<\delta \Longrightarrow d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon. $$$$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in X,d_X(x,x^{\prime })<\delta ⟹d_Y(f(x),f(x^{\prime }))<\epsilon .$$

与逐点连续相比，$\delta$$\delta$ 只能依赖于 $\varepsilon$$\epsilon$，不能依赖于基点 $x$$x$。

直觉

一致连续给整个定义域一把共同的局部尺度：只要输入彼此足够近，无论它们位于哪里，输出都同样接近。

例子与边界

$f(x)=x^2$$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 上连续但不一致连续，因为在远处相同的小输入差可产生任意大的输出差；它在每个有界闭区间上一致连续。$f(x)=1/x$$f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$$(0,1)$ 上不一致连续。Lipschitz 连续蕴含一致连续，但逆命题不成立，例如 $\sqrt{x}$$\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$$[0,1]$ 上一致连续却不是 Lipschitz。

推论与应用

Heine–Cantor 定理：紧度量空间上的连续函数一致连续。该性质保证柯西序列被送到柯西序列，并允许函数唯一延拓到定义域的完备化闭包（在适当目标完备条件下）。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 4。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 4。