紧空间

开覆盖把空间描述成任意多块局部信息。紧致性断言：只要这些局部片确实照顾到每一点，最终总能挑出有限块完成同样工作。有限性让逐点选择转化为有限交、有限最大值或统一误差尺度。

紧致不是“空间看起来小”。定义没有距离，因此不知道直径；它控制的是局部资料能否被有限化。欧氏空间中闭且有界恰好等价于紧，是有限维完备结构带来的定理，不是一般直觉的替代定义。

网刻画把同一机制翻译成极限语言：任意移动方式都能抽出一条有归宿的子网。紧致负责提供极限的存在，Hausdorff 性负责极限的唯一；两项任务彼此独立。

闭区间 $[0,1]$ 紧。一个直接的开覆盖证明从覆盖 $\mathcal{U}$ 出发，令

包含 $0$ 的某个覆盖成员说明 $S$ 非空。若 $c=supS<1$，取包含 $c$ 的开集 $U\in \mathcal{U}$；$U$ 在 $c$ 两侧含一小段，而靠近 $c$ 的某个 $x\in S$ 已有有限覆盖，加上 $U$ 就能把可有限覆盖的区间推进到 $c$ 右侧，矛盾。因此 $c=1$，再用同一邻域论证得到整个区间的有限子覆盖。

开区间 $(0,1)$ 不紧。相对开覆盖

覆盖每个正点，但任意有限子族等于其中最大的一个 $(1/N,1)$，仍漏掉靠近 $0$ 的点。缺失端点让覆盖无法在有限阶段封口。

无限离散空间不紧，因为单点开集族没有有限子覆盖。有限空间无论赋予什么拓扑都紧：对每个点选一个覆盖成员，最多只需选择点数那么多个。

无限集合上的余有限拓扑也是紧的。任取开覆盖，先选一个非空成员；它只漏掉有限多个点，再为每个漏点补选一个覆盖成员即可。这个空间通常不是 Hausdorff，说明紧致本身不推出分离性，也不保证紧子集闭。

在度量空间中，以下条件等价：开覆盖紧致；每个序列有收敛子列；空间完备且全有界。全有界要求对每个 $\epsilon >0$ 都可由有限个半径 $\epsilon$ 的球覆盖，比存在一个有限直径界强得多。

无限维 Hilbert 空间的闭单位球完备且有界，却因标准单位向量彼此距离 $\sqrt{2}$ 而不全有界，所以不紧。这个例子标出了“闭且有界”离开有限维 Euclidean 空间后失效的原因。

连续像保持紧致。给 $f(X)$ 一个开覆盖，拉回到 $X$ 后取有限子覆盖，再把相应目标开集取回即可。有限个紧子集的并也紧，可分别取有限子覆盖后合并。

紧空间的闭子集公理库闭集Closed set补集开放的子集；等价地，它包含拓扑能够检测到的全部闭包点。紧：覆盖闭集 $F$ 的开集加上 $X\setminus F$ 后覆盖整个空间。反向“紧子集闭”需要环境 Hausdorff公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。。证明对外点 $y$ 与紧集内每个 $x$ 取不交邻域，再由紧性保留有限多个，便能同时分开 $y$ 与整个紧集。

于是，从紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射自动是同胚。定义域的紧性保证闭集像紧，陪域的 Hausdorff 性把紧像变成闭集；两项合起来证明映射闭，从而得到逆连续。

紧致与收敛的关系也要按条件分层。任意紧空间中，每个网都有收敛子网；若再 Hausdorff，该子网的极限一旦指定便唯一，但原网仍可能振荡而不收敛。二点离散空间中的交替序列就有两个常值子列，却没有自身极限。

紧致与连通性互不推出。$[0,1]$ 同时紧且连通，二点离散空间紧而不连通，$\mathbb{R}$ 连通而不紧。二者结合时才得到更强的整体结构，例如实值连续函数的像是紧区间，因而同时取得最值并满足介值性质。

任意多个紧空间的积在积拓扑中仍紧，这是Tychonoff 定理公理库Tychonoff 定理Tychonoff theorem任意指标集上的紧空间乘积在积拓扑下仍然紧，并在一般形式下与选择公理等价。。有限积可用覆盖论证直接证明；无限积的完整版本涉及选择公理，且不能把“有限坐标限制”替换成箱拓扑。