形式陈述

拓扑空间 $X$$X$ 称为紧空间，若对每个开覆盖 $\mathcal U$$\mathcal{U}$（即 $X=\bigcup_{U\in\mathcal U}U$$X=\bigcup _{U\in \mathcal{U}}U$），都存在有限子族 $U_1,\ldots,U_n\in\mathcal U$$U_1,\dots ,U_n\in \mathcal{U}$ 仍覆盖 $X$$X$。

子集 $K\subseteq X$$K\subseteq X$ 称紧，是指它在子空间拓扑下为紧空间。

直觉

紧致性把可能无限的局部信息压缩为有限信息：只要一族开集足以逐点覆盖整个空间，就已有有限多个足够。

例子与边界

在 $\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 中，Heine–Borel 定理给出“紧当且仅当闭且有界”；该等价依赖欧氏或更一般的适当度量结构，在任意拓扑空间中不能把“有界”当作紧致定义。$(0,1)$$(0,1)$ 的覆盖 $\{(1/n,1):n\ge2\}$$\{(1/n,1):n\ge 2\}$ 没有有限子覆盖，所以不紧。

推论与应用

连续像保持紧致；实值连续函数在非空紧空间上取得最大、最小值。在度量空间中，紧致还等价于序列紧致与完备加全有界，但这些等价不自动推广到任意拓扑空间。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§§26–28。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Chapter 2。