形式陈述

拓扑空间 $X,Y$$X,Y$ 之间的映射 $f:X\to Y$$f:X\to Y$ 称为同胚，若 $f$$f$ 是双射，$f$$f$ 连续，且逆映射 $f^{-1}:Y\to X$$f^{-1}:Y\to X$ 也连续。若存在同胚，则称 $X$$X$ 与 $Y$$Y$ 同胚，记作 $X\cong Y$$X\cong Y$。

直觉

同胚允许连续拉伸、压缩和弯曲，但不允许撕裂或粘合。它表示两个空间拥有完全相同的开集结构，只是点的命名不同。

例子与边界

$(0,1)$$(0,1)$ 与 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 通过 $x\mapsto\tan\!\bigl(\pi(x-1/2)\bigr)$$x\mapsto \tan (\pi (x-1/2))$ 同胚。连续双射不必是同胚：从同一多点集合的离散拓扑到平凡拓扑的恒等映射连续且双射，但逆映射不连续。

推论与应用

同胚保持紧致性、连通性和分离性质等拓扑不变量。若 $X$$X$ 紧、$Y$$Y$ Hausdorff，则任意连续双射 $X\to Y$$X\to Y$ 自动为同胚，因为它把闭集映成闭集。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§18。
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011，Chapter 2。