同胚 | Codeboy's Blog

形式陈述

拓扑空间 $X,Y$ 之间的映射 $f:X\to Y$ 称为同胚，若它满足三项条件：

若存在这样的映射，就称 $X$ 与 $Y$ 同胚，记作 $X\cong Y$ 。恒等映射是同胚，同胚的逆与复合仍是同胚，所以同胚关系在拓扑空间类上构成等价关系。

同胚可以完全用开集表达：对每个 $U\subseteq X$ ，

U\text{ 在 }X\text{ 中开} \quad\Longleftrightarrow\quad f(U)\text{ 在 }Y\text{ 中开}.

正向使用 $f^{-1}$ 连续，反向使用 $f$ 连续。于是同胚不是单向地“保持某些开集”，而是在两套开集族之间给出一一对应。

若 $f$ 已知为连续双射，则下列条件等价：

f^{-1}\text{ 连续}, \qquad f\text{ 是开映射}, \qquad f\text{ 是闭映射}.

例如， $f$ 为开映射时，任意 $X$ 中开集 $U$ 都使 $(f^{-1})^{-1}(U)=f(U)$ 开，故逆映射连续。闭映射的证明取补即可。

一个常用升级判据是：若 $X$ 紧、 $Y$ Hausdorff，则每个连续双射 $f:X\to Y$ 都是同胚。因为 $X$ 的闭子集紧，连续像仍紧，而 $Y$ 中紧子集闭，所以 $f$ 是闭映射。

直觉

同胚允许空间被连续地拉伸、弯曲与重新参数化，只要这一过程可以连续地撤销。正向连续排除撕裂，逆向连续排除粘合；双射则保证点既不丢失也不重复。

只要求连续双射仍带有方向。它可能把定义域中容易区分的邻近关系压到目标里，使反向恢复时突然出现跳跃。逆连续条件恰好保证没有拓扑信息在这种压缩中消失。

“同胚”比较的是已给定拓扑，而不是图形外观或集合基数。两个空间即使能双射配对、甚至存在连续双射，也未必拥有同样的局部与全局结构。

例子与边界

映射

h:(0,1)\longrightarrow\mathbb R, \qquad h(x)=\tan\!\bigl(\pi(x-\tfrac12)\bigr)

严格递增、连续且满射；其逆

h^{-1}(y)=\frac12+\frac1\pi\arctan y

也连续。因此有界开区间与整条实线同胚，表明长度和有界性不是拓扑不变量。

圆周删去一点后与 $\mathbb R$ 同胚。立体投影或角度坐标都能给出显式映射；被删去的点正对应直线的两个无穷方向在圆上汇合的位置。

连续双射

q:[0,2\pi)\longrightarrow S^1, \qquad q(t)=e^{it}

不是同胚。圆周上趋近 $(1,0)$ 的点可以从两侧到达，而半开区间的逆坐标在 $0$ 与 $2\pi$ 之间跳跃。这里定义域不紧，因此不能套用紧到 Hausdorff 的自动升级判据。

同一多点集合从离散拓扑到平凡拓扑的恒等映射也是连续双射，但逆映射不连续。这个例子去掉几何图像后，仍清楚暴露出连续双射与同胚的逻辑差距。

闭区间 $[0,1]$ 不与圆周 $S^1$ 同胚。若删去区间内部一点，余下空间不连通；删去圆周任一点，余下空间仍与开区间同胚并保持连通。同胚会把删点后的空间继续同胚，因此这一差异足以排除同胚。

推论与应用

同胚保持一切只由开集结构定义的性质，包括连通性、紧致性、Hausdorff 性和可数性公理。证明模式相同：用同胚及其逆把相应的开集、覆盖或邻域陈述来回运输。

同胚不保持距离、角度、面积、曲率或完备性。 $(0,1)$ 与 $\mathbb R$ 的例子已经同时打破有界性和通常度量下的完备性；若问题需要保留这些量，就应改用等距、双 Lipschitz、微分同胚或其他更强结构映射。

判断两个空间不同胚时，直接枚举所有双射几乎从不现实。更有效的做法是寻找拓扑不变量：删点后的连通分支数、紧致性、分离性质、基本群或同调。只要某项不变量不同，同胚便不可能存在；不变量相同却通常还不足以构造同胚。

嵌入是到其像（取子空间拓扑）的同胚，因而允许目标空间还有额外点；商映射则允许主动识别点，一般不是单射。这两类映射分别描述“无损放入”和“受控粘合”，不能用“看起来连续且可逆”含混代替其正式条件。

参考资料

James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000, §§18, 26.
John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011, Chapters 2–3.
Stephen Willard, General Topology, Dover, 2004, Chapter 4.