同胚

对熟悉的曲线与曲面，可把同胚想成允许拉伸和弯曲的点配对：正向与反向都能保持局部邻近。但正式定义只要求得到一个双向连续的双射，并不要求给出随时间变化的变形过程，也不保证能在原来的环境空间中不碰撞地完成某个动作。把“像橡皮一样变形”当作证明，会混淆抽象空间与它在环境中的摆放方式。

只要求连续双射仍带有方向。它可能把定义域中容易区分的邻近关系压到目标里，使反向恢复时突然出现跳跃。逆连续条件恰好保证没有拓扑信息在这种压缩中消失。

“同胚”比较的是已给定拓扑，而不是图形外观或集合基数。两个空间即使能双射配对、甚至存在连续双射，也未必拥有同样的局部与全局结构。

映射

严格递增、连续且满射；其逆

也连续。因此有界开区间与整条实线同胚，表明长度和有界性不是拓扑不变量。

圆周删去一点后与 $\mathbb{R}$ 同胚，可以把这个说法直接算出来。设 $S^1=\{(u,v):u^2+v^2=1\}$，删去顶点 $N=(0,1)$，定义

逆公式的两个坐标平方和为 $1$，第二坐标严格小于 $1$，所以确实落在删点圆周上；代入 $p$ 得到 $t$。反向利用 $u^2=(1-v)(1+v)$ 也能还原 $(u,v)$。两边分母都不为零，故两映射连续。这就是立体投影：$t$ 趋于正、负无穷时，圆上的点都靠近被删去的 $N$。

连续双射

不是同胚。取 $t_n=2\pi -1/n$，则 $q(t_n)\to 1=q(0)$；但逆像序列 $t_n$ 不趋于 $0$，例如始终不进入 $0$ 的相对邻域 $[0,1)$。所以逆映射不保持这条收敛序列，确实不连续。这里定义域不紧，因此不能套用紧到 Hausdorff 的自动升级判据。

同一多点集合从离散拓扑到平凡拓扑的恒等映射也是连续双射，但逆映射不连续。这个例子去掉几何图像后，仍清楚暴露出连续双射与同胚的逻辑差距。

闭区间 $[0,1]$ 不与圆周 $S^1$ 同胚。若删去区间内部一点，余下空间不连通；删去圆周任一点，余下空间仍与开区间同胚并保持连通。同胚会把删点后的空间继续同胚，因此这一差异足以排除同胚。

同胚保持一切只由开集结构定义的性质，包括连通性、紧致性、Hausdorff 性和可数性公理。证明模式相同：用同胚及其逆把相应的开集、覆盖或邻域陈述来回运输。

同胚不保持距离、角度、面积、曲率或给定度量的完备性。$(0,1)$ 与 $\mathbb{R}$ 的例子已经同时打破有界性和通常度量下的完备性：$1/(n+1)$（$n\ge 1$）在前者中是没有极限的 Cauchy 序列，后者的通常度量却完备。需要保留什么结构，应相应选择映射条件：等距映射保留距离，双 Lipschitz 映射给出距离的双边常数控制，微分同胚保留光滑结构。它们的承诺各不相同，微分同胚也不自动保留长度或面积。

判断两个空间不同胚时，直接枚举所有双射几乎从不现实。更有效的做法是寻找拓扑不变量：删点后的连通分支数、紧致性、分离性质、基本群或同调。只要某项不变量不同，同胚便不可能存在；不变量相同却通常还不足以构造同胚。

嵌入是到其像（取子空间拓扑）的同胚，因而允许目标空间还有额外点；商映射则允许主动识别点，一般不是单射。这两类映射分别描述“无损放入”和“受控粘合”，不能用“看起来连续且可逆”含混代替其正式条件。

每个同胚 $f$ 都是同伦等价映射理路同伦等价Homotopy equivalence存在互为同伦逆的连续映射时，两个空间具有相同的同伦类型。：取 $g=f^{-1}$，两个复合已经严格等于恒等映射，常时间同伦即可。反方向不成立，例如 ${\mathbb{R}}^n$（$n\ge 1$）可收缩到一点，因而与一点同伦等价，却不可能与它双射。同胚保留全部开集结构，同伦等价只要求往返复合能连续变形为恒等映射。