覆叠变换

deck 变换是在上层重新排列各张覆盖层、却让每个点投影位置不变的全局对称。对连通覆叠，一个 deck 变换由任意一点的像唯一决定；若它固定某点，路径提升唯一性迫使它处处恒等。并非任意纤维置换都能连续延伸成 deck 变换，是否可延伸取决于覆叠的整体单值化结构。

对 $\mathbb{R}\to S^1$，覆叠变换恰为整数平移 $t\mapsto t+n$。一般非正规覆叠的变换群不必在每个纤维上传递。

对 $z\mapsto z^n:S^1\to S^1$，乘以任意 $n$ 次单位根都保持投影不变，deck 群因此是循环群。非正规覆叠的 deck 群可能无法在每条纤维上传递，所以“覆叠层数等于 deck 群大小”只在正规覆叠等附加条件下成立。

覆叠空间公理库覆叠空间Covering space连续满射在底空间每一点邻域上分解为若干互不相交的同胚片。上的同胚公理库同胚Homeomorphism自身与逆映射都连续的双射，给出两个拓扑空间之间可逆的开集翻译。若与投影交换便形成 deck 群，群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。描述其在纤维上的排列。对万有覆叠公理库万有覆叠Universal covering space总空间单连通的覆叠空间，在标准局部条件下支配所有连通覆叠。，在标准局部条件下该群与基本群公理库基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。同构；一般连通覆叠的正规性则对应相关子群在基本群中正规。