形式陈述

对覆叠 $p:\tilde{X}\to X$，覆叠变换是同胚 $h:\tilde{X}\to \tilde{X}$，满足

$$p\circ h=p.$$

全部覆叠变换在复合下构成群。对路径连通的万有覆叠，这个群与 ${\pi }_1(X)$ 同构；具体同构可能取决于左右作用约定。

直觉

覆叠变换是在不改变底空间投影的前提下，在不同“楼层”之间作对称移动。

例子与边界

对 $\mathbb{R}\to S^1$，覆叠变换恰为整数平移 $t\mapsto t+n$。一般非正规覆叠的变换群不必在每个纤维上传递。

推论与应用

它连接基本群、群作用、正规覆叠与空间作为群作用商的表示。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology (2002), deck transformations.
• J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), covering transformations.