万有覆叠

万有覆叠把底空间中的所有不可收缩回路“展开”，使上层空间单连通；不同绕行历史落到纤维中的不同点。它是所有连通覆叠的共同上层：其他覆叠可由万有覆叠按基本群某个子群的作用取商得到。存在性需要局部道路连通与半局部单连通等条件，不能对任意空间默认。

$\mathbb{R}\to S^1,t\mapsto e^{2\pi it}$ 是万有覆叠。Hawaiian earring 等空间因局部条件失败，可能没有经典意义下的万有覆叠。

$S^2\to {\mathbb{RP}}^2$ 通过识别对跖点给出二层万有覆叠；环面的万有覆叠是 ${\mathbb{R}}^2$，其 deck 变换为整数格平移。万有覆叠并非对所有道路连通空间公理库道路连通空间Path-connected space任意两点可由从单位区间出发的连续路径连接。都存在，半局部单连通等局部条件不能省略。

覆叠公理库覆叠空间Covering space连续满射在底空间每一点邻域上分解为若干互不相交的同胚片。若上层单连通便是万有覆叠，提升性质公理库覆叠提升性质Lifting property for covering spaces路径与同伦在指定起点后可唯一提升到覆叠空间。保证其 universal factorization。基本群公理库基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。作为deck 群公理库覆叠变换Deck transformation · Covering transformation保持覆叠投影不变的总空间自同胚。作用于上层，子群对应中间覆叠。几何结构常先提升到单连通上层求解，再检查 deck 作用下能否下降到底空间。