万有覆叠

万有覆叠中的一个点可看成“从固定起点走到某处的路径历史”，其中端点固定同伦的路径视为同一历史。投影只记终点，因而可能把许多不同历史送到同一个底空间点。

具体构造取 $\tilde{X}=\{[\gamma ]:\gamma (0)=x_0\}$，定义 $p([\gamma ])=\gamma (1)$。在一个道路连通、回路在 $X$ 中都可缩的小开集 $U$ 内，延长 $\gamma$ 到 $U$ 中给定终点所得的同伦类与延长方式无关；这些延长组成一张与 $U$ 同胚的局部薄片。局部道路连通与半局部单连通使这样的 $U$ 足够多，正是构造成为覆叠的机制。

圆周的万有覆叠是

纤维 $p^{-1}(1)=\mathbb{Z}$。回路 ${\gamma }_n(s)=e^{2\pi ins}$ 从 $0$ 提升为 ${\tilde{\gamma }}_n(s)=ns$，终点为 $n$，所以绕行次数成为上层终点。覆叠变换恰为整数平移 $t\mapsto t+k$。

对正整数 $m$，$m$ 层圆周覆叠 $q(z)=z^m$，因子映射可显式写为 $F(t)=e^{2\pi it/m}$，于是 $q(F(t))=p(t)$。这把“支配其他覆叠”落实为可以复算的等式。

$S^2\to {\mathbb{RP}}^2$ 识别对跖点，是二层万有覆叠；环面 $S^1\times S^1$ 的万有覆叠是 ${\mathbb{R}}^2$，覆叠变换为整数格平移。单连通不等于可缩，$S^2$ 的例子尤其说明万有覆叠的总空间不必可缩。

Hawaiian earring 是半径 $1/n$、圆心 $(1/n,0)$ 的圆的并。在共同切点的任意邻域内都包含某些完整小圆，其绕行在整体空间中仍不能收缩，所以半局部单连通失败，经典万有覆叠不存在。若有单连通覆叠，一个均匀覆叠邻域中的回路会提升为闭回路，再在上层收缩并投影下来，反而迫使该局部条件成立。

一般映射的覆叠提升判据理路覆叠提升性质Lifting property for covering spaces路径与同伦在指定起点后可唯一提升到覆叠空间。证明上述因子映射与唯一性：标准局部条件使上层也道路连通且局部道路连通，上层基本群又为零，因此满足该子群包含条件；两个保持基点的提升再由唯一提升性相等。任意 $y\in Y$ 都可由从 $y_0$ 出发的道路到达；把其投影提升到 $\tilde{X}$，再用唯一提升性，就证明 $F$ 满射。在同时均匀覆叠的道路连通小邻域上，$F$ 把每张上层片同胚地送到一张 $Y$ 的片，所以这个因子映射本身也是覆叠。作为总空间单连通的覆叠，万有覆叠是一般覆叠的严格特例。

选定基点及作用约定后，覆叠变换群理路覆叠变换Deck transformation · Covering transformation保持覆叠投影不变的总空间自同胚。与 ${\pi }_1(X,x_0)$ 同构。子群 $H$ 的作用给出中间覆叠 $\tilde{X}/H\to X$；带基点的连通覆叠按子群分类，忘掉基点后按共轭类分类。几何结构可先提升到上层处理，再检验它对覆叠变换是否不变，以决定能否下降。

对连通 Lie 群，万有覆盖不仅提升拓扑，还能唯一提升群乘法。Lie 群的覆盖理路Lie 群的覆盖与整体形式Covering Lie group连通 Lie 群的万有覆盖通过离散中心商产生不同整体形式，显式核验 SU(2) 到 SO(3) 的二重覆盖。说明覆盖核是离散中心子群，并用 $\mathrm{SU}(2)/\{\pm I\}\cong \mathrm{SO}(3)$ 核验：下层旋转一周闭合，上层路径却从 $I$ 走到 $-I$。

上述子群分类的完整逆过程见覆叠空间分类定理理路覆叠空间的子群分类Classification of covering spaces · Subgroup classification of connected coverings · 覆叠分类定理在明确局部条件下把带基点连通覆叠与基本群子群双向对应，构造每个子群的覆叠，并区分忘基点的共轭分类、覆叠同构和总空间同胚。：从任意子群对万有覆叠取商，逐片验证商映射仍为覆叠，再用提升唯一性证明同一子群只给一个带基点类。忘记基点会把具体子群改成共轭类；三层表的十三个带基点类与七个无基点类提供一份有限复算。这里原有万有覆叠的路径类构造与局部存在条件仍是该证明的输入。

万有覆叠也能携带Riemann度量。若下层是连通、完备、无边界的Riemann流形，在上层放拉回度量后，覆盖映射成为局部等距。任一上层测地初值先投到下层，下层的完整测地线再按指定起点提升；局部等距与初值唯一性保证提升仍是测地线，因此上层也测地完备。Bonnet–Myers定理理路Bonnet–Myers直径定理Bonnet-Myers theorem · Myers theorem · Bonnet–Myers theorem · 正Ricci直径定理从Ricci取迹和一组正弦试验场推出统一正Ricci曲率下的精确直径界，再证明紧性与有限基本群，核对球面取等、射影空间和非一致正曲率边界。把统一正Ricci下界提升到这里，得到上层紧性。每条纤维同时闭且离散，故是有限的紧离散空间，再由环路类与纤维点的对应得到基本群有限。单有“紧空间里的离散子集”不足以推出有限，必须保留纤维的闭性。