开集 | Codeboy's Blog

形式陈述

在拓扑空间 $(X,\tau)$ 中，子集 $U\subseteq X$ 称为开集，当且仅当 $U\in\tau$ 。拓扑公理给出

\varnothing,X\in\tau, \qquad \bigcup_{i\in I}U_i\in\tau, \qquad U_1\cap\cdots\cap U_n\in\tau,

其中任意并可以有任意指标集，交集只保证对有限族成立。空交按环境集合解释为 $X$ ，与第一条公理一致。

在度量空间 $(X,d)$ 的诱导拓扑中，开放性可以逐点检验：

U\text{ 开} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\in U\ \exists\varepsilon_x>0, \ B_{\varepsilon_x}(x)\subseteq U.

半径可以随点变化。这个开球判据属于度量诱导拓扑，一般拓扑空间没有天然的数值半径。

开集与两个相邻概念的关系需要分层表达。闭集是补集开放的集合；集合 $N$ 是 $x$ 的邻域，只要求它含有某个包含 $x$ 的开集。于是 $U$ 开等价于： $U$ 是其中每一点的邻域。开集描述整个集合，邻域陈述还携带一个被围住的点。

直觉

若 $x\in U$ 且 $U$ 开，那么在足够局部的观察尺度里移动 $x$ ，仍不会离开 $U$ 。拓扑把“足够局部”编码成开邻域；度量只是产生这类邻域的一种方式。

任意并保持开，因为并中每一点已经在某个开放成员内拥有局部余量。有限交保持开，则是因为有限多个余量可以同时缩小后满足；对无限多项，没有一个正的局部余量必然同时适用。

开放性总是相对于环境空间。一个集合的端点是否“暴露在外”，取决于空间里还存在哪些点，而不是取决于区间符号长什么样。

例子与边界

实数通常拓扑中， $(a,b)$ 开，而 $[a,b]$ 在 $a<b$ 时不开放。开射线也开，因为

(a,\infty)=\bigcup_{n\ge1}(a,a+n).

这说明开集不必有界，也不必只由单个开区间表示。

无限交失败可由一族真正缩小的邻域看出：

\bigcap_{n\ge1}(-1/n,1/n)=\{0\}.

每一步都还留有正半径，全部精度要求同时施加后却只剩一点。有限交公理的边界正落在这里。

令 $Y=[0,1]\subseteq\mathbb R$ 。在子空间拓扑中，

[0,1/2)=Y\cap(-1,1/2)

是 $Y$ 中的开集，尽管它不是实线中的开集。证明相对开放时，开球和补集都必须在 $Y$ 内解释；把母空间偷换成 $\mathbb R$ 会改变命题。

离散空间中每个集合都开；平凡拓扑中只有 $\varnothing$ 与 $X$ 开。Sierpiński 空间 $\{0,1\}$ 中， $\{1\}$ 开而 $\{0\}$ 不开，展示了开放性无需来自对称距离。

开与闭并非互斥标签。 $\varnothing$ 与 $X$ 在每个空间中都既开又闭；不连通空间还会有非平凡的既开又闭集。实线中的半开区间 $[0,1)$ 则既不开也不闭。把“开”理解为“不含边界”、“闭”理解为“含边界”，会在这些最基本的例子上失效。

连续映射也不会自动把开集送成开集。常值映射是连续的，但一个非空开集的像通常只是单点；连续性的定义使用目标开集的逆像，开映射则是另一项额外性质。

推论与应用

任意子集 $A\subseteq X$ 的内部是它所包含的全部开集之并，因此是 $A$ 的最大开子集。与之对偶，闭包是包含 $A$ 的最小闭集；二者共同确定边界。

拓扑基把全部开集压缩为局部模板。要证明映射连续，只需检查目标空间一组基元素的逆像开放，因为逆像保持任意并。这个技巧把“遍历所有开集”化成结构化的局部检验。

拓扑连续性、连通性与紧致性都直接用开集陈述：连续性拉回开集，连通性排除开分离，紧致性把开覆盖压缩为有限子覆盖。它们共享词汇，却分别控制映射、整体不可分割性和覆盖规模。

参考资料