形式陈述

在拓扑空间 $(X,\tau)$$(X,\tau )$ 中，$U\subseteq X$$U\subseteq X$ 称为开集，当且仅当 $U\in\tau$$U\in \tau$。在度量空间中，这等价于：每个 $x\in U$$x\in U$ 都存在 $\varepsilon>0$$\epsilon >0$，使开球 $B_\varepsilon(x)\subseteq U$$B_{\epsilon }(x)\subseteq U$。

直觉

开集中的每个点都拥有完全留在集合内部的小邻域；它描述局部可移动空间，而非集合是否“包含边界”的日常印象。

例子与边界

实数上的开区间 $(a,b)$$(a,b)$ 是开集。集合可以既开又闭，例如任意空间中的 $\varnothing$$\varnothing$ 与 $X$$X$；“开”与“闭”不是互斥词。

推论与应用

任意集合的内部是其包含的最大开集；连续映射可由开集的逆像保持开放来刻画。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., §13.
• John L. Kelley, General Topology, Chapter 2.