Tietze 延拓定理

Tietze 定理说明正规空间中，闭子集上的连续实值数据不会在边界处制造不可跨越的拓扑冲突，总能延拓到全空间。闭性确保子集包含所有自身极限，正规性则不断分离不同值层并构造一致逼近。定理保证存在，不给唯一延拓；子集外仍有很大自由。

在 $[0,1]$ 的闭子集 Cantor 集上定义的连续实函数可延拓到整个区间。闭性不能随意删去：在 $A=(0,1)\subset \mathbb{R}$ 上的 $f(x)=1/x$ 不可能连续延拓到全实线。正规性同样实质；事实上在常见 $T_1$ 约定下，所有闭子集实值函数可延拓的性质刻画正规性。定理不是说向任意目标空间的映射都可延拓；目标 $\mathbb{R}$（及其有限维坐标推广）具有特殊凸结构。

在 $\mathbb{R}$ 中，闭集 $A=(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$ 上定义 $f=-1$ 于左侧、$f=1$ 于右侧，可在间隙线性延拓。若子集不是闭的，结论可失败：在 $A=(0,1]$ 上取 $f(x)=1/x$，不存在到 $\mathbb{R}$ 的连续实值延拓，因为靠近 $0$ 无有限极限。 bounded 版本可保持值域在给定闭区间内。

正规空间公理库正规空间Normal space满足 T1，且任意两个不交闭集都可由不交开集分离的空间。与闭子集公理库闭集Closed set补集开放的子集；等价地，它包含拓扑能够检测到的全部闭包点。支撑连续函数延拓，证明建立在Urysohn 引理公理库Urysohn 引理Urysohn's lemma正规空间中两个不交闭集可被连续实值函数分别映到 0 与 1。的分离函数之上。它用于分割单位、嵌入定理和把局部定义的观测扩展为全局函数；对向量值或非局部凸目标，延拓是否成立需额外结构。