Tietze 延拓定理

闭集上的数据已经在自身所有可能的贴近位置上满足连续性。正规性让不同数值层能被开集分开，再借连续分离函数把粗略的延拓逐次修正。证明不是一次猜出精确公式，而是令剩余误差按固定比例缩小。

空空间直接取空函数，以下设 $X$ 非空。先考虑 $|f|\le M$ 且 $M>0$ 的情形。在 $A$ 中，$f\le -M/3$ 与 $f\ge M/3$ 是不交闭集，也因 $A$ 闭而在 $X$ 中闭。Urysohn 引理理路Urysohn 引理Urysohn's lemma正规空间中两个不交闭集可被连续实值函数分别映到 0 与 1。给出连续函数 $g_0:X\to [-M/3,M/3]$，在这两层上分别等于端点；于是 $|f-g_0|\le 2M/3$ 于 $A$。反复对残差做同样构造，可得

由Weierstrass M 判别法理路Weierstrass M 判别法Weierstrass M-test若函数项被一个收敛数项级数逐项一致控制，则函数级数绝对且一致收敛。，几何级数控制使 $F=\sum _{n\ge 0}{g}_n$ 在 $X$ 上一致收敛理路函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。，因而连续，且 $|F|\le M$；残差趋于零给出 $F{|}_A=f$。$M=0$ 直接取零函数。

一般无界情形，先令 $h=f/(1+|f|):A\to (-1,1)$，用有界版本延拓为 $g:X\to [-1,1]$。闭集 $B=\{x:|g(x)|=1\}$ 与 $A$ 不交；再由 Urysohn 引理取 $\eta :X\to [0,1]$，使 $\eta {|}_A=1$、$\eta {|}_B=0$。于是 $k=\eta g$ 在 $A$ 上仍等于 $h$，且处处满足 $|k|<1$：在 $B$ 上它为零，在 $B$ 外则有 $|k|\le |g|<1$。故 $F=k/(1-|k|)$ 是所需的实值连续延拓。这个额外分离步骤保证分母处处非零，不能直接对可能取到端点的 $g$ 使用反变换。

令 $A=(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$，在左侧取 $f=-1$、右侧取 $f=1$。一个延拓是

接点两侧值一致，且全程位于 $[-1,1]$。在间隙换用其他连接两端的连续曲线，又得到不同延拓。Cantor 集上的连续函数也可延拓到 $[0,1]$；每个被挖去的开区间可用两端数据线性连接，Tietze 定理保证此类闭集数据具有全局延拓。

闭性不能删除：$A=(0,1]$ 上的 $1/x$ 在 $0$ 无有限极限。即使有界也会失败，$\sin \left(1/x\right)$ 在同一子集上连续且有界，却无法在 $0$ 连续补值。因此“保持有界”不弥补定义域不闭的缺陷。

目标也不能任换：闭圆盘边界 $S^1$ 上的恒等映射不能延拓成 $D^2\to S^1$，否则就产生圆盘到边界的收缩映射。把目标改成 ${\mathbb{R}}^2$ 后可以延拓，但结果会进入圆盘内部。

在 $T_1$ 空间中，这种实值延拓性质反过来刻画正规性。给不交闭集 $B,C$，在闭集 $A=B\cup C$ 上分别指定 $0,1$，得到连续函数；延拓后取 $F^{-1}((-\mathrm{\infty },1/3))$ 与 $F^{-1}((2/3,\mathrm{\infty }))$，便是两侧不交开邻域。

延拓定理把闭子集上的观测转为全空间函数，可配合嵌入构造和有限开覆盖的连续权函数使用。无限覆盖的单位分解还涉及局部有限性等条件，不能仅由正规性直接得到所有版本。一般向量值延拓也需另行核对目标的线性与凸性结构。