形式陈述

设 $X$$X$ 为正规空间，$A\subseteq X$$A\subseteq X$ 闭。每个连续函数 $f:A\to\mathbb R$$f:A\to \mathbb{R}$ 都存在连续延拓 $F:X\to\mathbb R$$F:X\to \mathbb{R}$，满足 $F|_A=f$$F{|}_A=f$。若 $f(A)\subseteq[-M,M]$$f(A)\subseteq [-M,M]$，可选取延拓同样满足 $F(X)\subseteq[-M,M]$$F(X)\subseteq [-M,M]$；更一般地，映入闭区间的函数可保持值域区间。向 $\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 的连续映射可逐坐标延拓。

直觉

闭子集上已定义的连续数据不会在边界处“漏风”；正规性允许逐步构造越来越小的连续修正，把局部函数无缝填充到全空间。

例子与边界

在 $[0,1]$$[0,1]$ 的闭子集 Cantor 集上定义的连续实函数可延拓到整个区间。闭性不能随意删去：在 $A=(0,1)\subset\mathbb R$$A=(0,1)\subset \mathbb{R}$ 上的 $f(x)=1/x$$f(x)=1/x$ 不可能连续延拓到全实线。正规性同样实质；事实上在常见 $T_1$$T_1$ 约定下，所有闭子集实值函数可延拓的性质刻画正规性。定理不是说向任意目标空间的映射都可延拓；目标 $\mathbb R$$\mathbb{R}$（及其有限维坐标推广）具有特殊凸结构。

推论与应用

Tietze 定理用于把闭集上的边界数据延拓、构造全局连续函数，并连接正规性、函数空间和嵌入理论。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§35, Tietze extension theorem。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 6, Tietze extension and normal spaces。