Urysohn 引理

Urysohn 引理把两个不交闭集从“能用开集分开”升级为“能用连续实值函数分开”。证明在所有二进有理层级插入嵌套开集，使闭包严格落在下一层，再以点首次进入层级的下确界定义函数。正规性提供每一步的闭包缓冲，稠密层级把离散分离平滑成连续过渡。

在 $\mathbb{R}$ 中，对闭集 $A=\{0\}$、$B=\{1\}$ 可取 $f(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))$；一般度量空间同样可用距离公式。对一般正规空间没有预先给定的距离，Urysohn 构造仍能产生函数。结论只指定 $A,B$ 上的值，不保证 $f^{-1}(0)=A$ 或 $f^{-1}(1)=B$；要让每个闭集都恰好成为某个连续实函数的零点，需要完全正规（perfectly normal）等更强条件；单纯正规性不足。引理本身也不说明 $X$ 可嵌入某个 Euclidean 空间。

在 $\mathbb{R}$ 中，对闭集 $A=(-\mathrm{\infty },0]$ 与 $B=[1,\mathrm{\infty })$，函数 $f(x)=0$ 于 $x\le 0$、$f(x)=x$ 于 $0<x<1$、$f(x)=1$ 于 $x\ge 1$ 实现分离。仅有两个不交开邻域并不自动给出这样的函数，需能反复在闭包层面细化。若闭集不闭，例如 $A=(0,1)$ 与点 $0$，要求分别恒为零和一会与连续性冲突。

正规性公理库正规空间Normal space满足 T1，且任意两个不交闭集都可由不交开集分离的空间。分离闭集公理库闭集Closed set补集开放的子集；等价地，它包含拓扑能够检测到的全部闭包点。，Urysohn 引理产出连续函数公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。到 $[0,1]$。它是Tietze 延拓定理公理库Tietze 延拓定理Tietze extension theorem正规空间闭子集上的连续实值函数可连续延拓到全空间。的核心构件，并在 Urysohn metrization 中用可数族分离函数嵌入可度量立方体。分割单位也通过类似函数把局部开覆盖转成可加权的全局数据。