形式陈述

若 $X$$X$ 为正规空间，$A,B\subseteq X$$A,B\subseteq X$ 是不交闭集，则存在连续函数

$$ f:X\to[0,1] $$$$f:X\to [0,1]$$

满足

$$ f|_A=0, \qquad f|_B=1. $$$$f{|}_A=0,f{|}_B=1.$$

证明利用有理数参数构造一族闭包严格嵌套的开集，再以点进入这些开集的临界参数定义 $f$$f$。在 $T_1$$T_1$ 语境下，这种连续函数分离闭集的能力也刻画正规性。

直觉

正规空间不仅能用两个开集把闭集隔开，还能在二者之间连续地铺设从 0 到 1 的“高度场”，把离散分离升级为数值分离。

例子与边界

在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中，对闭集 $A=\{0\}$$A=\{0\}$、$B=\{1\}$$B=\{1\}$ 可取 $f(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))$$f(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))$；一般度量空间同样可用距离公式。对一般正规空间没有预先给定的距离，Urysohn 构造仍能产生函数。结论只指定 $A,B$$A,B$ 上的值，不保证 $f^{-1}(0)=A$$f^{-1}(0)=A$ 或 $f^{-1}(1)=B$$f^{-1}(1)=B$；要让每个闭集都恰好成为某个连续实函数的零点，需要完全正规（perfectly normal）等更强条件；单纯正规性不足。引理本身也不说明 $X$$X$ 可嵌入某个 Euclidean 空间。

推论与应用

Urysohn 引理用于构造分割函数、证明正规空间的连续函数丰富，并是 Urysohn 度量化定理和 Tietze 延拓定理的重要组成。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§33, Urysohn lemma。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 6, Urysohn functions and normality。