Urysohn 引理

Urysohn 引理把两个不交闭集从“能用开集分开”升级为“能用连续实值函数分开”。构造中的每一层都为前一层的闭包留下空间，因此临界值附近不会突然从零跳到一。所需工具是正规性的缩邻域性质：闭集 $F$ 包含在开集 $G$ 中时，可找到开集 $U$ 使 $F\subseteq U\subseteq \bar{U}\subseteq G$。

先令 $U_1=X\setminus B$，再选 $U_0$ 使 $A\subseteq U_0\subseteq \overline{U_0}\subseteq U_1$。第一轮在两者之间插入 $U_{1/2}$，要求

下一轮分别在 $0,1/2$ 与 $1/2,1$ 之间插入 $U_{1/4},U_{3/4}$。每轮只对有限个相邻层重复同一缩邻域操作，最终覆盖 $[0,1]$ 中所有二进有理数 $D$。

由实数完备性理路实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。，非空的有界参数集有下确界。定义 $f(x)=inf\{r\in D:x\in U_r\}$，空集的下确界在这里约定为 $1$。于是 $A$ 上取零，$B$ 上取一。对 $0<t\le 1$，$\{f<t\}=\bigcup _{r<t}{U}_r$；对 $0\le t<1$，$\{f>t\}=\bigcup _{r>t}(X\setminus \overline{U_r})$。二进有理数的稠密性与闭包包含关系保证这两个等式，而右边都是开集，故 $f$ 连续。这一步解释了为什么只构造一对分离开集还不够。

在 $\mathbb{R}$ 中，对闭集 $A=\{0\}$、$B=\{1\}$ 可取 $f(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))$；在一般度量空间中，对两个非空不交闭集同样可用距离公式；分母处处为正。若某个闭集为空，直接取适当的常值函数。对一般正规空间没有预先给定的距离，Urysohn 构造仍能产生函数。结论只指定 $A,B$ 上的值，不保证 $f^{-1}(0)=A$ 或 $f^{-1}(1)=B$；要让每个闭集都恰好成为某个连续实函数的零点，需要完全正规（perfectly normal）等更强条件；单纯正规性不足。引理本身也不说明 $X$ 可嵌入某个 Euclidean 空间。

在 $\mathbb{R}$ 中，对闭集 $A=(-\mathrm{\infty },0]$ 与 $B=[1,\mathrm{\infty })$，函数 $f(x)=0$ 于 $x\le 0$、$f(x)=x$ 于 $0<x<1$、$f(x)=1$ 于 $x\ge 1$ 实现分离。仅有两个不交开邻域并不自动给出这样的函数，需能反复在闭包层面细化。若闭集不闭，例如 $A=(0,1)$ 与点 $0$，要求分别恒为零和一会与连续性冲突。

正规性理路正规空间Normal space满足 T1，且任意两个不交闭集都可由不交开集分离的空间。分离闭集理路闭集Closed set补集开放的子集；等价地，它包含拓扑能够检测到的全部闭包点。，Urysohn 引理产出连续函数理路拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。到 $[0,1]$。它是Tietze 延拓定理理路Tietze 延拓定理Tietze extension theorem正规空间闭子集上的连续实值函数可连续延拓到全空间。的核心构件，并在 Urysohn metrization 中用可数族分离函数嵌入可度量立方体。分割单位也通过类似函数把局部开覆盖转成可加权的全局数据。