闭集

闭集把所有无法通过邻域与它分开的点一并收进来。它表达的是对拓扑极限过程的封闭，而非“形状封死”“拥有外边界”或“大小有限”。无界集合可以闭，没有几何边界的集合也可以闭。

开集理路开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续性与局部构造的基本单位。与闭集通过环境空间中的补集严格对偶。任意闭条件可以同时施加，因为交集保留所有条件；无限多个闭集合并时，新极限点却可能在并外出现，这正是无限并失败的机制。

实线中，闭区间 $[a,b]$、整数集 $\mathbb{Z}$ 以及射线 $[0,\mathrm{\infty })$ 都闭。后两个例子分别说明闭集可以离散或无界；“闭且有界”是附加在欧氏空间子集上的组合条件，不是闭的定义。

集合

在 $\mathbb{R}$ 中不闭：给定 $0$ 周围任意半径 $r>0$，选整数 $n>1/r$ 就有 $1/n\in (0,r)$，故 $0\in \bar{A}\setminus A$。加入 $0$ 后，$A\cup \{0\}$ 闭。要确认没有别的遗漏点，可取任意不属于它的 $x>0$：当 $n$ 足够大时，$1/n<x/2$；余下只有有限个序列项，能取一个围住 $x$ 且避开它们及 $[0,x/2]$ 的小区间。负数也显然有避开该集合的邻域。因此补集开放。这里补上的是一个聚点，而不是整段区间。

无限闭并可能丢失闭性：

任意有限并仍有最小左端点，因而闭；无限并允许左端点趋向 $0$，却没有把 $0$ 带入结果。

相对闭性同样依赖环境。令 $Y=(0,1)$，则

在子空间 $Y$ 中闭，但作为 $\mathbb{R}$ 的子集并不闭。一般地，在子空间拓扑理路子空间拓扑Subspace topology用环境开集与子集相交，使子集继承母空间局部结构的拓扑。中，$C\subseteq Y$ 相对闭当且仅当 $C=Y\cap F$，其中 $F$ 在母空间闭。

$\varnothing$ 与整个空间既开又闭；离散空间中的每个集合也如此。另一方面，$[0,1)$ 在实线中既不开也不闭。由此可见，“开”和“闭”既不是互斥二选一，也不是穷尽所有子集的二分类。

连续映射保持闭集的逆像，却不一定保持闭集的像。投影 ${\pi }_1:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 是连续的，而闭集

的像是 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$，并不闭。闭映射是比连续性多出的性质，不能从“闭集逆像闭”误推为“闭集像闭”。

若 $Y$ 是 $T_1$ 空间（特别地，若它是 Hausdorff 空间），则连续映射 $f:X\to Y$ 的等值集

闭。这里真正需要的是目标单点 $\{y_0\}$ 闭，$T_1$ 已经足够。实值连续函数的零点集因此闭，例如 $x^2+y^2=1$ 是连续函数 $(x,y)\mapsto x^2+y^2-1$ 的零点集；点列的极限仍满足等式。许多约束集合由此获得极限稳定性。

连续映射理路拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。可等价地定义为闭集逆像仍闭。证明只需使用

所以该刻画与开集逆像定义完全对偶，并不要求映射可逆。

闭子集继承紧致性：若 $F$ 在紧空间理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。 $X$ 中闭，把覆盖 $F$ 的开集加上 $X\setminus F$ 就得到 $X$ 的开覆盖。反向命题“紧子集闭”需要环境空间 Hausdorff理路Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。。例如在赋予余有限拓扑的 $\mathbb{N}$ 中，偶数集 $2\mathbb{N}$ 无限且为真子集，所以不闭；它却紧致。对它的任意开覆盖，先取一个非空开集，未覆盖的偶数只剩有限个，再逐个补选覆盖它们的集合即可。这给出了删去 Hausdorff 条件后的具体失败。

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，Heine–Borel 定理理路Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。把闭且有界等同于紧致。一般度量空间中，闭且有界仍可能不紧；一般拓扑空间甚至没有内禀的“有界”概念。