形式陈述

在拓扑空间 $(X,\tau)$$(X,\tau )$ 中，集合 $F\subseteq X$$F\subseteq X$ 称为闭集，当且仅当其补集 $X\setminus F$$X\setminus F$ 是开集。由拓扑公理可得：$\varnothing$$\varnothing$ 与 $X$$X$ 闭；任意族闭集的交闭；有限个闭集的并闭。

直觉

闭集不是“形状封闭”的日常概念，而是对极限过程稳定的拓扑概念。它通过补集与开集对偶定义，因此开集的并、有限交规律正好翻转为闭集的交、有限并规律。

例子与边界

在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中，$[a,b]$$[a,b]$ 闭，$(a,b)$$(a,b)$ 通常不闭。$\varnothing$$\varnothing$ 和整个空间既开又闭；离散空间中每个集合都既开又闭。无限个闭集的并不必闭，例如 $\bigcup_{n\ge1}[1/n,1]= (0,1]$$\bigcup _{n\ge 1}[1/n,1]=(0,1]$ 在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中不闭。

推论与应用

闭集用于定义闭包、边界、紧致子集和连续映射。映射 $f:X\to Y$$f:X\to Y$ 连续，当且仅当 $Y$$Y$ 的每个闭集的逆像在 $X$$X$ 中闭。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§17。
• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，§3.2。