闭集

闭集把所有无法通过邻域与它分开的点一并收进来。它表达的是对拓扑极限过程的封闭，而非“形状封死”“拥有外边界”或“大小有限”。无界集合可以闭，没有几何边界的集合也可以闭。

开集公理库开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续性与局部构造的基本单位。与闭集通过环境空间中的补集严格对偶。任意闭条件可以同时施加，因为交集保留所有条件；无限多个闭集合并时，新极限点却可能在并外出现，这正是无限并失败的机制。

实线中，闭区间 $[a,b]$、整数集 $\mathbb{Z}$ 以及射线 $[0,\mathrm{\infty })$ 都闭。后两个例子分别说明闭集可以离散或无界；“闭且有界”是附加在欧氏空间子集上的组合条件，不是闭的定义。

集合

在 $\mathbb{R}$ 中不闭，因为 $0\in \bar{A}\setminus A$。加入 $0$ 后，$A\cup \{0\}$ 闭。这里缺失的是由邻域检测到的聚点，而不是一段应当补齐的区间。

无限闭并可能丢失闭性：

任意有限并仍有最小左端点，因而闭；无限并允许左端点趋向 $0$，却没有把 $0$ 带入结果。

相对闭性同样依赖环境。令 $Y=(0,1)$，则

在子空间 $Y$ 中闭，但作为 $\mathbb{R}$ 的子集并不闭。一般地，$C\subseteq Y$ 相对闭当且仅当 $C=Y\cap F$，其中 $F$ 在母空间闭。

$\varnothing$ 与整个空间既开又闭；离散空间中的每个集合也如此。另一方面，$[0,1)$ 在实线中既不开也不闭。由此可见，“开”和“闭”既不是互斥二选一，也不是穷尽所有子集的二分类。

连续映射保持闭集的逆像，却不一定保持闭集的像。投影 ${\pi }_1:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 是连续的，而闭集

的像是 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$，并不闭。闭映射是比连续性多出的性质，不能从“闭集逆像闭”误推为“闭集像闭”。

若 $Y$ 是 Hausdorff 空间，则连续映射 $f:X\to Y$ 的等值集

闭。实值连续函数的零点集因此闭；许多约束集合通过把等式写成连续函数的零点来获得极限稳定性。

连续映射公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。可等价地定义为闭集逆像仍闭。证明只需使用

所以该刻画与开集逆像定义完全对偶，并不要求映射可逆。

闭子集继承紧致性：若 $F$ 在紧空间 $X$ 中闭，把覆盖 $F$ 的开集加上 $X\setminus F$ 就得到 $X$ 的开覆盖。反向命题“紧子集闭”需要环境空间 Hausdorff公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。；无限余有限空间本身紧却不是 Hausdorff，提醒我们不能删掉这一条件。

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，Heine–Borel 定理公理库Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。把闭且有界等同于紧致。一般度量空间中，闭且有界仍可能不紧；一般拓扑空间甚至没有内禀的“有界”概念。