形式陈述

设 $A\subseteq X$$A\subseteq X$。其内部、闭包与边界分别定义为

$$ \operatorname{int}A=\bigcup\{U:U\text{ 开且 }U\subseteq A\}, $$$$\mathrm{int}A=\bigcup \{U:U\text{ 开且 }U\subseteq A\},$$$$ \overline A=\bigcap\{F:F\text{ 闭且 }A\subseteq F\},\qquad \partial A=\overline A\setminus\operatorname{int}A. $$$$\bar{A}=\bigcap \{F:F\text{ 闭且 }A\subseteq F\},\partial A=\bar{A}\setminus \mathrm{int}A.$$

等价地，$x\in\overline A$$x\in \bar{A}$ 当且仅当每个含 $x$$x$ 的开邻域都与 $A$$A$ 相交；并且

$$ \partial A=\overline A\cap\overline{X\setminus A}. $$$$\partial A=\bar{A}\cap \overline{X\setminus A}.$$

直觉

内部保留集合中拥有完整局部余量的点；闭包补入任何邻域都无法避开的点；边界则是任意局部观察都同时看见集合与其补集的点。

例子与边界

在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中，若 $A=(0,1]\cap\mathbb Q$$A=(0,1]\cap \mathbb{Q}$，则 $\operatorname{int}A=\varnothing$$\mathrm{int}A=\varnothing$，$\overline A=[0,1]$$\bar{A}=[0,1]$，$\partial A=[0,1]$$\partial A=[0,1]$。闭包不是简单地“加上两个端点”，其结果依赖母空间与拓扑；同一 $A$$A$ 放入子空间后可能有不同边界。

推论与应用

总有 $A$$A$ 开当且仅当 $A=\operatorname{int}A$$A=\mathrm{int}A$，$A$$A$ 闭当且仅当 $A=\overline A$$A=\bar{A}$。这些算子用于刻画稠密集、连续性、分离性质以及几何区域的边界。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§17。
• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，§3.2。