内部、闭包与边界

内部点附近能找到完全属于集合的区域；闭包点无法被一个开邻域与集合隔离；边界点的每个邻域都能见到集合和补集。边界点本身可以属于集合，也可以在集合外，“边界”不等于“缺掉的端点”。

补集交换内外两种操作：$X\setminus \bar{A}=\mathrm{int}(X\setminus A)$。由此得到边界的双闭包公式，也立即看出 $\partial A$ 总是闭集，且 $\partial A=\partial (X\setminus A)$。

在通常实线中，取 $A=(0,1]\cap \mathbb{Q}$，即区间内的有理数点。计算时可以把三个问题分开。

先找内部：任意 $x\in A$ 周围的正半径开区间都含无理数，不可能完全包含在 $A$ 中，因此内部为空。

再找闭包：对 $0<x<1$，任意邻域都包含落在 $(0,1)$ 内的一小段区间，其中有有理数；端点 $0$ 的右侧、端点 $1$ 的左侧也有这样的区间，所以两个端点都在闭包里。若 $x<0$ 或 $x>1$，则可选小于它到 $[0,1]$ 距离的半径，使邻域避开 $A$。

最后从闭包中去掉内部，得到边界。因此

类似地，$\mathbb{Q}$ 的内部为空，闭包与边界都为 $\mathbb{R}$。边界可以占满整个空间，并不一定是一条较低维的轮廓。

对 $A=[0,1)\subseteq \mathbb{R}$，内部、闭包、边界依次为 $(0,1)$、$[0,1]$、$\{0,1\}$。若把环境换成 $Y=[0,1)$，同一个集合就是全空间，因而 ${\mathrm{int}}_{Y}A={\bar{A}}^Y=A$，${\partial }_{Y}A=\varnothing$。一般有 ${\bar{A}}^Y=Y\cap {\bar{A}}^X$，但内部不能照抄同样公式：本例中 $Y\cap {\mathrm{int}}_{X}A=(0,1)\ne A$。

闭包保留有限并，却未必保留交。取 $A=(0,1)$、$B=(1,2)$，有 $\overline{A\cap B}=\varnothing$，而 $\bar{A}\cap \bar{B}=\{1\}$。把包含关系误写为等号会制造不存在的公共逼近点。

有限并则不同：若一个点既不在 $\bar{A}$ 也不在 $\bar{B}$，可分别找避开 $A$、$B$ 的开邻域，再取两者的有限交，便避开 $A\cup B$；故 $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup \bar{B}$。无限并不能照此推，因为无限个开邻域的交未必仍是邻域。具体取 $A_n=\{1/n\}$：每个 $A_n$ 都等于自身闭包，但 $\overline{\bigcup _n{A}_n}$ 还多出 $0$，所以 $\overline{\bigcup _n{A}_n}\ne \bigcup _n\overline{A_n}$。

由定义，$A$ 开当且仅当 $A=\mathrm{int}A$，$A$ 闭当且仅当 $A=\bar{A}$。若以 $A^{\prime }$ 表示聚点理路聚点Limit point · Accumulation point每个邻域都含有集合中不同于该点的元素的点。集，即每个邻域都碰到 $A\setminus \{x\}$ 的点，则 $\bar{A}=A\cup A^{\prime }$；此处必须排除点自身，才能区分聚点和孤立点。

连续性理路拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。可刻画为对每个 $A\subseteq X$ 都有 $f(\bar{A})\subseteq \overline{f(A)}$。条件 $\bar{A}\subseteq \mathrm{int}B$ 则表示：连同 $A$ 的逼近点在内，每一点都在 $B$ 中有开邻域余量。这是切除定理等局部论证所需的缓冲，但在没有距离的空间中，并不表示存在一个统一的正距离间隔。

还要区分环境边界与流形的内在边界。圆周作为平面子集是闭集，内部为空，故拓扑边界是整个圆周；作为一维流形，每点都有形如开区间的局部坐标，因此它是无边界流形。两种“边界”回答的不是同一个问题。