内部、闭包与边界

内部收集完全拥有某个邻域的点，闭包收集每个邻域都碰到集合的点，边界则是集合与其补集都无法在局部排除的点。三者分别是最大开子集、最小闭上集与两侧接触区。它们依赖环境拓扑；同一子集换成子空间后，内部和边界会改变。

在 $\mathbb{R}$ 中，若 $A=(0,1]\cap \mathbb{Q}$，则 $\mathrm{int}A=\varnothing$，$\bar{A}=[0,1]$，$\partial A=[0,1]$。闭包不是简单地“加上两个端点”，其结果依赖母空间与拓扑；同一 $A$ 放入子空间后可能有不同边界。

在 $\mathbb{R}$ 中，$\mathbb{Q}$ 的内部为空、闭包为全体 $\mathbb{R}$、边界也是全体，因为每个区间同时含有理数和无理数。对半开区间 $A=[0,1)$，内部为 $(0,1)$，闭包为 $[0,1]$，边界为 $\{0,1\}$。在子空间 $Y=[0,1)$ 中，同一 $A=Y$ 的边界却为空。

开集公理库开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续性与局部构造的基本单位。与闭集公理库闭集Closed set补集开放的子集；等价地，它包含拓扑能够检测到的全部闭包点。定义内部、闭包和边界，聚点公理库聚点Limit point · Accumulation point每个邻域都含有集合中不同于该点的元素的点。帮助分解闭包。连续性可用闭包包含关系表达，切除定理用闭包落在内部的缓冲条件，流形边界和 PDE 边界条件则需进一步区分拓扑边界与内在边界。