Alexandroff 单点紧化

新点 $\mathrm{\infty }$ 的邻域由紧集的补决定，所以一列点趋向 $\mathrm{\infty }$，直观上就是最终离开每个紧子集。局部紧性保证原空间各点仍能与 $\mathrm{\infty }$ 用开集分开，Hausdorff 性保证紧集闭，从而扩张空间仍 Hausdorff。把所有逃逸方式合并成一个点是这项构造的力量，也是它丢失“不同方向无穷远”的来源。

$\mathbb{R}$ 的单点紧化同胚于圆周 $S^1$；对 $n\ge 1$，${\mathbb{R}}^n$ 的单点紧化同胚于球面 $S^n$。无限离散空间的单点紧化中，无穷远点邻域是余有限集，得到一个紧 Hausdorff 空间。闭半直线 $[0,\mathrm{\infty })$ 的单点紧化同胚于闭区间。单点紧化把不同无穷方向合并，因此不适合需要区分 $+\mathrm{\infty }$ 与 $-\mathrm{\infty }$ 的问题。

当 $X=\mathbb{N}$ 取离散拓扑时，其单点紧化同胚于

对应关系把无穷远点送到 $0$。因此“整数逃向无穷”在紧化后成为普通收敛。若离散空间不可数，所得紧化在无穷远点不再第一可数：任何可数邻域族只排除至多可数多个点，无法细化所有余有限邻域。

局部紧 Hausdorff 空间理路局部紧空间Locally compact space每一点都有闭包紧的邻域的 Hausdorff 空间；等价地每点有紧邻域。满足构造所需的分离条件，所得空间是一个紧化理路紧化Compactification把空间同胚嵌入为某个紧 Hausdorff 空间的稠密子空间。。紧集理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。的补给出无穷远邻域，若 $X,Y$ 都是非紧局部紧 Hausdorff 空间，且连续映射 $f:X\to Y$ 是 proper 的，即每个紧集的逆像都紧，则令 $f^{\ast }(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$ 得到连续延拓 $f^{\ast }:X^{\ast }\to Y^{\ast }$。因为 $(f^{\ast }{)}^{-1}(Y^{\ast }\setminus K)=X^{\ast }\setminus f^{-1}(K)$，目标无穷远邻域的逆像仍是源的无穷远邻域。${\mathbb{R}}^n$ 的结果连接球面、约化同调与紧支撑上同调，也把“无穷远处边界条件”转成普通点附近的拓扑问题。