形式陈述

设 $X$$X$ 为非紧局部紧 Hausdorff 空间。令 $X^*=X\cup\{\infty\}$$X^{\ast }=X\cup \{\mathrm{\infty }\}$，其中 $X$$X$ 的原开集仍开，而含 $\infty$$\mathrm{\infty }$ 的集合规定为

$$ \{\infty\}\cup(X\setminus K), $$$$\{\mathrm{\infty }\}\cup (X\setminus K),$$

其中 $K\subseteq X$$K\subseteq X$ 紧。则 $X^*$$X^{\ast }$ 是紧 Hausdorff 空间，$X$$X$ 是其中开且稠密的子空间；这称 Alexandroff 单点紧化。它在固定 $X$$X$ 的同胚意义下唯一。若 $X$$X$ 不局部紧，所得拓扑通常不能同时保持 Hausdorff；若 $X$$X$ 已紧，添加点会使 $X$$X$ 不再稠密，因而不是紧化。

直觉

把所有逃出任意紧集的方向统一看作趋向同一个无穷远点。无穷远点的邻域恰好是“删去一个紧核心后剩余的全部空间”。

例子与边界

$\mathbb R$$\mathbb{R}$ 的单点紧化同胚于圆周 $S^1$$S^1$；$\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 的单点紧化同胚于球面 $S^n$$S^n$。无限离散空间的单点紧化中，无穷远点邻域是余有限集，得到一个紧 Hausdorff 空间。闭半直线 $[0,\infty)$$[0,\mathrm{\infty })$ 的单点紧化同胚于闭区间。单点紧化把不同无穷方向合并，因此不适合需要区分 $+\infty$$+\mathrm{\infty }$ 与 $-\infty$$-\mathrm{\infty }$ 的问题。

推论与应用

单点紧化把紧支撑问题、球面拓扑和无穷远边界统一起来，也用于定义约化同调与局部紧空间的 proper 映射延拓。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§29, one-point compactification。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 8, Alexandroff compactification。