形式陈述

Hausdorff 空间 $X$$X$ 的紧化是二元组 $(Y,e)$$(Y,e)$，其中 $Y$$Y$ 为紧 Hausdorff 空间，$e:X\to Y$$e:X\to Y$ 是同胚嵌入，且 $e(X)$$e(X)$ 在 $Y$$Y$ 中稠密。通常把 $X$$X$ 与其像认同。两个紧化若存在同胚 $h:Y_1\to Y_2$$h:Y_1\to Y_2$ 满足 $h\circ e_1=e_2$$h\circ e_1=e_2$，则视为等价。紧化余集 $Y\setminus X$$Y\setminus X$ 称余边界。并非每个 Hausdorff 空间都有 Hausdorff 紧化；存在这种紧化当且仅当空间是完全正则 Hausdorff（Tychonoff）。

直觉

紧化通过添加理想边界点，把可能向无穷逃逸的网或轨道纳入一个紧空间，同时要求原空间在新空间中没有被离散隔开，而是稠密地保留。

例子与边界

把 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 加两个端点得到闭区间型双点紧化，也可把两端合成一个无穷远点得到圆周型单点紧化；二者不等价。Stone–Čech 紧化是 Tychonoff 空间的最大 Hausdorff 紧化，通常余边界巨大。若 $X$$X$ 已紧 Hausdorff，则任何把它稠密嵌入紧 Hausdorff 空间的紧化都与 $X$$X$ 本身等价，因为紧子集在 Hausdorff 空间中闭而又稠密。仅把 $X$$X$ 嵌入某个紧空间但像不稠密，不称紧化。

推论与应用

紧化用于研究无穷远行为、延拓连续函数、定义边界条件和把非紧空间上的问题转成紧空间问题。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§38, compactifications。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 8, compactifications and Stone–Čech theory。