紧化

紧化不是随意把空间塞进一个紧空间，而是添加“极限位置”且让原空间保持稠密，从而每个新点都可由原空间逼近。不同紧化记录不同的逃逸信息：有的把所有方向合并，有的保留多个端或极大的函数边界。比较两个紧化时，关注的是是否存在在原空间上为恒等的同胚，而不是外加点数看起来相同。

把 $\mathbb{R}$ 加两个端点得到闭区间型双点紧化，也可把两端合成一个无穷远点得到圆周型单点紧化；二者不等价。Stone–Čech 紧化是 Tychonoff 空间的最大 Hausdorff 紧化，通常余边界巨大。若 $X$ 已紧 Hausdorff，则任何把它稠密嵌入紧 Hausdorff 空间的紧化都与 $X$ 本身等价，因为紧子集在 Hausdorff 空间中闭而又稠密。仅把 $X$ 嵌入某个紧空间但像不稠密，不称紧化。

实直线的双点紧化保留 $+\mathrm{\infty }$ 与 $-\mathrm{\infty }$，同胚于闭区间；单点紧化把两端合并，同胚于圆。二者都含 $\mathbb{R}$ 为稠密开子空间，却边界结构不同。把 $\mathbb{R}$ 嵌入闭圆盘的一条直径但不取其闭包的全部点，虽目标紧，若像不稠密就不构成该目标的紧化。

同胚嵌入公理库同胚Homeomorphism自身与逆映射都连续的双射，给出两个拓扑空间之间可逆的开集翻译。把原空间识别为紧 Hausdorff 空间公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。的稠密子空间，单点紧化公理库Alexandroff 单点紧化Alexandroff one-point compactification向非紧局部紧 Hausdorff 空间添加一个无穷远点得到紧空间。是局部紧情形的最简构造。局部紧性公理库局部紧空间Locally compact space每一点都有闭包紧的邻域的 Hausdorff 空间；等价地每点有紧邻域。使原空间常在紧化中成为开集。动力系统、复分析和几何群论会选择不同边界，使无穷序列获得极限并把渐近行为转成边界作用；能否把原空间上的连续函数延拓到所选边界，则反过来刻画该紧化究竟保留了哪些无穷远信息。