双射

想象将两组对象配对。单射禁止两个输入挤到同一个输出，满射禁止某个输出无人对应；双射则让两边每个对象恰好出现在一对中。因此，双射建立的不只是“可以从左边走到右边”，还有“到右边以后知道唯一应该怎样回来”。

例如 $f:\mathbb{Z}\to 2\mathbb{Z}$，$f(n)=2n$，把每个整数配给唯一的偶数；反向规则是 $f^{-1}(m)=m/2$。虽然偶数是整数的真子集，两者仍能一一配对。这说明无限集合的“相同大小”不能只靠是否真包含来判断，而可以由双射精确表达。

双射依赖整个映射的定义域和陪域。$x\mapsto e^x$ 从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 不是满射；把陪域换成 $(0,\mathrm{\infty })$，它就成为以 $\log$ 为逆的双射。改变陪域不是修改同一个结论的说法，而是在改变所讨论的带类型映射。

逆函数为什么恰好刻画双射 ​

先设 $f$ 是双射。对每个 $b\in B$，把唯一满足 $f(a)=b$ 的 $a$ 定为 $g(b)$。唯一性使这个规则确实定义一个函数。按构造，$f(g(b))=b$；而 $f(a)$ 的唯一原像就是 $a$，所以 $g(f(a))=a$。

反过来，若 $g$ 满足两个复合等式，当 $f(a)=f(a^{\prime })$ 时，对两边应用 $g$ 即得 $a=a^{\prime }$，因此 $f$ 单射；对任意 $b\in B$，等式 $f(g(b))=b$ 又给出了一个原像，因此 $f$ 满射。若 $h$ 也是逆，则

所以逆不可能有两个。

这里不需要选择公理：每个 $b$ 对应的原像已经唯一，不存在“从若干候选中任选一个”的步骤。

单侧可逆还不够 ​

取 ${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$，令

有 $g(f(n))=n$，但 $f(g(0))=1\ne 0$。因此 $g$ 是 $f$ 的左逆，却不是双侧逆。这个例子同时显示：自映射即使能够无损地撤销一次前向操作，也可能漏掉陪域中的某些值。

若 $A,B$ 都有 $n$ 个元素，单射使 $n$ 个输入占据 $n$ 个不同输出，因而不会剩下未覆盖的目标。反过来，若满射却有两个输入碰撞，$n$ 个输入最多占据 $n-1$ 个输出，与覆盖全部 $n$ 个目标矛盾。因此，同样大小的有限集之间，单射与满射等价。空集情形两者都成立；无限集则不能使用上述有限位置计数，后继映射就是反例。

从 $\varnothing$ 到 $\varnothing$ 的唯一函数是双射。若仅一边为空，另一边非空，则不可能有双射；这与“每个成员都恰好配对一次”完全一致。

双射不自动保留额外结构 ​

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$f(x)=x^3$ 是双射，但 $f(1+1)=8\ne f(1)+f(1)=2$，所以它不是加法群的同构。对某种结构谈同构，还要检查映射和逆映射是否满足该结构要求。

这种双向检查在拓扑中特别清楚。映射

连续且双射，却不是同胚：取 $t_n=2\pi -1/n$（$n\ge 1$），则 $f(t_n)\to (1,0)=f(0)$，但逆像序列 $t_n$ 不趋于 $0$。集合层面的唯一配对，没有保证反向映射连续。

另一个较细的基础区别是：“已有一个单射 $A\to B$，另有一个满射 $A\to B$”不等于“同一个映射同时满足两项性质”。在采用选择公理理路选择公理Axiom of choice · AC把任意集合族中逐个存在的元素同时汇成一个选择函数的公理。的通常背景下，可以从那个满射选出右逆 $B\to A$，再用Cantor–Schröder–Bernstein 定理理路康托–施罗德–伯恩斯坦定理Cantor–Schröder–Bernstein theorem若 A 可单射到 B 且 B 可单射到 A，则 A 与 B 之间存在双射。得到双射；不采用选择公理时，这一步不能不加说明地使用。双射自身的逆则始终由唯一性直接决定。

若 $f:A\to B$ 与 $g:B\to C$ 都是双射，则 $g\circ f$ 也是双射，并且

撤销组合操作时顺序反转：先撤销最后一步 $g$，再撤销 $f$。把这个候选逆分别放在复合两侧，就能用结合性和单位律验证结论。

在有限计数中，双射把“直接数起来困难的对象”变成“容易计数的编码”。例如先给一个 $n$ 元集的元素固定顺序 $a_1,\dots ,a_n$，再把子集编码成长为 $n$ 的 $0$–$1$ 串：第 $i$ 位为 $1$ 当且仅当选入 $a_i$。若顺序为“红、绿、蓝”，子集 $\{\text{红},\text{蓝}\}$ 编为 $101$；从 $101$ 又恰好选回红和蓝。

一般地，编码后再解码保留了每个元素是否属于子集的信息，解码后再编码也逐位恢复原串。这两次往返证明了双射。每一位独立有两个选择，串数为 $2^n$，故子集数也是 $2^n$。当 $n=0$ 时，空集只有一个子集，对应唯一的空串，公式仍给出 $2^0=1$。

更一般地，双射可以把定义或结构从一组对象搬到另一组对象上。例如通过双射 $f:A\to B$，可以把 $A$ 上的运算 $\ast$ 搬成 $b\star c=f(f^{-1}(b)\ast f^{-1}(c))$。这样得到的结构保留相应代数规律，是因为它按双向还原的方式被定义；任意已有的 $B$ 上运算则未必与之相容。