形式陈述

函数 $f:A\to B$$f:A\to B$ 是双射，当且仅当它同时为单射和满射。等价地，每个 $b\in B$$b\in B$ 恰有一个 $a\in A$$a\in A$ 满足 $f(a)=b$$f(a)=b$。

直觉

双射是一一配对：没有碰撞，也没有遗漏。它说明两个集合在元素个数意义上完全相同，即使元素性质或表示不同。

例子与边界

$f:\mathbb Z\to2\mathbb Z,\ f(n)=2n$$f:\mathbb{Z}\to 2\mathbb{Z},f(n)=2n$ 是双射。区间 $(0,1)$$(0,1)$ 与 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 之间也存在双射，说明无限集合大小不能仅靠几何长度判断。

推论与应用

双射定义等势和基数相等，刻画可逆函数，并在组合计数中通过构造一一对应证明对象族等大。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §§8–10, 22–25。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Functions and Infinite Sets chapters。